AYT-MAT 27. Diziler-2: Aritmetik Diziler
Aritmetik Diziler
Ardışık terimlerin arasındaki farkın sabit olduğu dizilere aritmetik diziler denir.
\((a_n)\) aritmetik dizisinde
- \(a_2-a_1=a_3-a_2=...=a_n+1-a_n=d\)
olacak şekilde bir d gerçek sayısı vardır.
İlk terimi \(a_1\) ve ortak farkı d olan bir \((a_n)\) aritmetik dizisinin genel terimi;
\[a_n=a_1+(n-1).d \]
şeklindedir.
Herhangi bir terim, sadece birinci terim cinsinden değil, başka herhangi bir terim cinsinden de yazılabilir.
- \(a_n=a_p+(n-p).d\)
Aritmetik Dizinin Özellikleri
Sonlu bir aritmetik dizide baştan ve sondan eşit uzaklıkta bulunan terimlerin toplamı birbirine eşittir.
- \(a_1+a_n=a_2+a_{n-1}=a_3+a_{n-2}=...=a_k+a_{n-k+1}\)
- Indislerinin toplamı da birbirine eşittir. (indis: a nın altına yazılan rakam, index)
- Bir aritmetik dizide her terim kendisinden eşit uzaklıktaki terimlerin aritmetik ortalamasına eşittir.
- \(a_1=2, a_2=4, a_3=6, a_4=8, a_5=10, a_6=12, a_7=14, a_8=16, a_9=18\) için
- \((a_3+a_7)/2=10\)
- Indislerinin toplamının yarısı ise kaçıncı terimin onların ortasında olduğunu gösterir.
- Bir aritmetik dizinin ilk n teriminin toplamı \(S_n\) olsun.
- Buna göre
- \(S_n=a_1+a_2+a_3+...+a_{n-1}+a_n\)
- \(S_n=(a_1+a_n).n/2\) (gauss toplamı)
- \(S_n=(2a_1+(n-1)d).n/2\)
