Mathematics: 35. Limit-5

Süreklilik

\(A\subset R\) ve \(f: A\to R\) bir fonksiyon olmak üzere \(a\in R\) için

\(\lim\limits_{x\to a^+}f(x)=\lim\limits_{x\to a^-}=f(a)\) ise f fonksiyonuna x=a noktasında sürekli fonksiyon denir.

Fonksiyon x=a noktasında tanımlı olmalıdır.
Fonksiyonun o noktada limiti olmalıdır.
Fonksiyonun o noktadaki limitinin değeri ile fonksiyonun o noktadaki değeri eşit olmalıdır.

Bir fonksiyonun tanım kümesindeki bir noktada sürekliliği araştırılır. Sürekliliği araştırılan noktada fonksiyon sürekli değilse fonksiyona bu noktada süreksizdir denir.

Eğer fonksiyon o noktada tanımsız ise, süreksiz değil, süreklilik aranmaz denir.

Polinom Fonksiyonların Sürekliliği

\(f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0\)

Biçimindeki polinom fonksiyonlar gerçel sayılar kümesinde süreklidir. Çünkü bir polinomun gerçel sayılarda tanımsız olduğu bir yer yoktur ve parçalı değillerdir.

n pozitif bir tam sayı olmak üzere, eğer fonksiyonda \(x^{-n}\) olan bir terimi varsa, x'e 0 verilirse 1/0'dan fonksiyon tanımsız olur ve polinom belirtmez. Sonuç olarak gerçel sayılar kümesinde sürekli olamaz.

Rasyonel Fonksiyonların Sürekliliği

f(x) ve g(x) polinom fonksiyonlar olmak üzere

f(x)/g(x) şeklindeki fonksiyonlar g(x) != 0 olduğu en geniş kümede süreklidir. Reel kümeden paydayı sıfırlayan sayılar çıkartılır.

Eğer paydadaki ikinci dereceden denklemin diskriminantı sıfırdan küçük ise, gerçek sayılar kümesinde paydayı sıfırlayan bir değer yoktur ve fonksiyonun sürekli olduğu en geniş küme reel sayılardır.

f ve g polinom fonksiyonlar ise f+g polinom fonksiyondur. Tüm gerçek sayılarda süreklidir.
f ve g polinom fonksiyonlar ise f.g polinom fonksiyondur. Tüm gerçek sayılarda süreklidir.

Parçalı Fonksiyonların Sürekliliği

\[f(x)= \begin{cases} g(x), x < a \\\ c, x = a \\\ h(x), x > a \end{cases} \]

Biçimindeki parçalı fonksiyonlarda kritik noktalarda süreklilik koşulu incelenir.

Eğer parçalı fonksiyonun kritik noktalarda kopma varsa, o noktalarda süreklilik yoktur.

Eğer parçalı fonksiyonun durumlarının (x<a gibi) formülleri (f(x) gibi) polinom ise, sadece kritik noktalar incelenir.

Fakat eğer bu formüller rasyonel fonksiyon gibi tanımsız olan değerler alabiliyorlarsa ve fonksiyonu tanımsız yapan değer, parçalandığı küme içerisinde kalıyorsa (x<a gibi) burada da süreklilik aranmaz. Reel sayılar kümesinden bu değer çıkartılır.

Eğer parçalandığı küme içerisinde değilse, zaten o x değerinde bu fonksiyon kullanılmayacağı için o noktayı incelemeye gerek yoktur.

Mutlak Değerli Fonksiyonun Sürekliliği

Her mutlak değerli fonksiyon bir parçalı fonksiyondur.

Mutlak değerli kısım 0'a soldan ya da sağdan yaklaşılmasına bağlı olarak -1 ile çarpılır. Bu sebeple 0 kritik noktadır ve sağ ve soldan yaklaşımın birbirlerine eşit olup olmadığına bakılması gerekir.

Paydada bulunan değişkenin paydayı sıfırladığı kısımda süreklilik aranmaz.

Irrasyonel Fonksiyonların Sürekliliği

\(n\in N^+\) için \(\sqrt[2n+1]{f(x)}\) ise tüm gerçek sayılarda süreklidir. Yani f(x), R'de süreklidir.

\(n\in N^+\) için \(\sqrt[2n]{f(x)}\) ise kök içini negatif yapmayan tüm gerçek sayılarda süreklidir.

Yani \(f(x)\ge 0\) olduğu yerlerde süreklidir.

Logaritma Fonksiyonunun Sürekliliği

\(f(x)=log_{g(x)}h(x)\) olmak üzere

h(x) > 0; g(x) > 0 ve g(x) != 1 koşullarını sağlayan noktalarda süreklidir.

Başka bir değişle logaritmanın tanımlı olduğu yerlerin her yerinde fonksiyon süreklidir.

Paydayı sıfır yapan yerler süreklilik kümesi içine dahil edilmez.