Mathematics: 36. Türev-1
Slope
Bir doğrunun x ekseniyle yaptığı pozitif yönlü açının tanjant değerine eğim denir.
\[\text{Eğim (m)}=\tan{a}=\frac{f(b)-f(a)}{b-a} \]
Tanjant alfa eğer dar açıysa eğim pozitif, geniş açıysa eğim negatiftir.
- \(a<90^{\circ}\) ise \(tana>0\)
- \(a>90^{\circ}\) ise \(tana<0\)
\(tanjant=\frac{\text{Karşı kenar}}{\text{Komşu kenar}}\)
Fonksiyonun Ortalama Değişim Oranı
Bir f fonksiyonunun [a,b] aralığındaki ortalama değişim oranı
\[\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(b)-f(a)}{b-a} \]
şeklinde ifade edilir.
Ortalama değişim hızı [a,b] aralığında, fonksiyonda a ve b noktalarından geçecek şekilde çekilen doğrunun eğimine eşittir.
Ortalama Hız (Değişim Oranı)
Doğrusal hareket eden bir hareketlinin aşağıda berilen konum-zaman grafiğine göre bu hareketlinin \(t_0\) ve t. saniyeler arasındaki ortalama hızı
\[V_{ort}=\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{x(t)-x(t_0)}{t-t_0} \]
şeklinde ifade edilir.
Anlık Değişim Oranı ve Türev
Aşağıda doğrusal olarak hareket eden bir hareketliye ait konum-zaman grafiği verilmiştir.
Bu hareketlinin \(x_0\) ve \(x\) saniyeler arasındaki ortalama hızı
\[V_{ort}=\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \]
Bu hareketlinin \(x_0\) anındaki anlık hızı bulunmak istenirse \(x\)'in \(x_0\)'a yaklaşırken fonksiyonun değişim oranı hesaplanır.
\(x_0\) anındaki anlık hız:
\[\lim\limits{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \]
şeklinde gösterilir.
- Anlık değişim oranı aynı zamanda \(x=x_0\) da fonksiyonun grafiğine çizilen teğetin eğimine eşittir.
Anlık değişim oranı sorularında 0/0 belirsizliği oluşacağı için pay ile paydayı sadeleştirmek gerekir.
Türevin Birinci Tanımı
f fonksiyonunun \(x_0\) anındaki anlık değişim hızına fonksiyonun \(x_0\) anındaki türevi denir. \(f`(x_0)\) veya \(\frac{df}{dx}\big|_{x=x_0}\) ile gösterilir.
Başka bir değişle, bir fonksiyonun herhangi bir noktasındaki türevi, fonksiyonun o noktadaki teğetinin eğimine eşittir.
\[f`(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \]
Birinci dereceden doğrusal fonksiyonların eğimi x'in önündeki katsayıya eşittir. Bu fonksiyonların herhangi bir noktasındaki türevi de bu katsayıya eşittir.
Türevin Ikinci Tanımı
f sürekli bir fonksiyon olmak üzere
- f fonksiyonunun üzerindeki \(x_0\) noktasındaki türevi
\[f`(x_0)\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \]
- f fonksiyonunun herhangi bir x noktasındaki türevinin fonksiyonunu \(x_0\) yerine x koymaya çalışarak yazdığımızda 0/0 belirsizliği ortaya çıkar. Başka bir şey denemeliyiz.
\[f`(x)\lim\limits_{x\to x}\frac{f(x)-f(x)}{x-x}=0/0 \]
- Yapmamız gereken şey \(x\)'i \(x_0\)'a yaklaştırmak. \(x-x_0=h\) denklemini düşündüğümüzde, x'i \(x_0\)'a ne kadar yaklaştırırsak h de 0'a kadar yaklaşır. O halde \(x-x_0=h\) dönüşümünü türev bulma denklemine uygularsak aşağıdaki elde edilir.
- Not: \(f(x)\)'in \(f(x_0+h)\) olmasının sebebi \(x-x_0=h\) denkleminden yola çıkarak x yerine \(x_0+h\) yazabilmemizdir.
\[f`(x_0)=\lim\limits_{h\to 0}\frac{f(h+x_0)-f(x_0)}{h} \]
- \(x\) yerine de \(x\) yazdığımızda aşağıdaki elde edilir.
\[f`(x)=\lim\limits_{h\to 0}\frac{f(h+x)-f(x)}{h} \]
Bu denklem bize herhangi bir x noktasındaki türevin eğiminin formülünü verir.
