Mathematics: 40. Türev-5: Türev ve Süreklilik
Bir Fonksiyonun Bir Noktada ve Bir Aralıkta Türevlenebilirliği
\(A\subseteq R, f: A\to R\) ve \(a\in A\) için
\(f`(a^+)=\lim\limits_{x\to a^+}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\) limiti varsa bu limit değerine f fonksiyonunun x=a noktasındaki sağdan türevi denir.
\(f`(a^-)=\lim\limits_{x\to a^-}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\) limiti varsa bu limit değerine f fonksiyonunun x=a noktasındaki soldan türevi denir.
\(A\subset R, f: A\to R\) ve \(a\in A\) için f sürekli olmak üzere
- Bir fonksiyonun x=a noktasındaki sağdan ve soldan türevleri birbirine eşitse f fonksiyonu x=a noktasında türevlidir.
\[f(x)= \begin{cases} g(x), & x < a \\ h(x), & x\ge a \end{cases} \]
fonksiyonunda x = a kritik noktadır. Kritik noktaların incelenmesi gerekir.
- f fonksiyonu x=a için süreksiz ise \(f`(a)\) yoktur.
- f fonksiyonu x=a için sürekli ise
- \(g`(a)\) != \(h`(a)\) ise (sağdan ve soldan türevleri eşit değilse) \(f`(a)\) yoktur.
- \(g`(a)\) == \(h`(a)\) ise (sağdan ve soldan türevleri eşitse) \(f`(a)=g`(a)=h`(a)\) olur ve türev vardır.
Eğer kritik nokta sorulmuyor ise ve denklemler polinom fonksiyon gibi hep sürekli ise, sürekliliğe bakmaya gerek yoktur, direkt o noktada türev alınır.
Eğer fonksiyon o noktada türevlenebilir ise o noktada hem limiti vardır hem de süreklidir.
Türevlenebilirliğin Grafik Yorumu
- Bir fonksiyon x=a apsisli noktada tanımlı değilse x=a apsisli noktada türev aranmaz.
- Bir fonksiyon x=a apsisli noktada sürekli değilse x=a apsisli noktada türevli değildir.
- Bir fonksiyon türevli olduğu her noktada süreklidir.
- Bir fonksiyonun kırılma noktalarında türevi yoktur. Çünkü o noktada herhangi bir yerden teğet çizilebilir.
- Bir fonksiyon sürekli olduğu bir noktada türevli olmayabilir.
