Mathematics: 41. Türev-6: Parçalı Fonksiyonların Türevi

Parçalı fonksiyonun türevi bulunurken, türevi istenen nokta kritik nokta ise önce fonksiyonun bu noktadaki sürekliliğine bakılır daha sonra aynı noktada sağdan ve soldan türevine bakılır.
Türevi istenen nokta kritik nokta değilse bu noktada sağdan ve soldan türeve bakmaya gerek yoktur.

Mutlak Değer Fonksiyonunun Türevi

Türevi istenen nokta kritik nokta değil ise fonksiyonun işaretine göre ifade mutlak değerden çıkarılır ve türev alınır.

Türevi istenen nokta (x=a) kritik nokta ise,

x=a bir katlı bir kök ise (tek katlı değil, katı bir olan) o noktada türev yoktur. Çünkü kırılma noktası oluşur.
x=a birden büyük tam sayılı n katlı bir kök ise türevi vardır ve sıfırdır.

Bir katlı kökler polinom grafiğini deler geçer.

Çift katlı kökler polinom grafiğini teğet geçer.

Üç, beş gibi, bir dışındaki, tek katlı kökler x eksenini teğet gibi delerler. Bu yüzden bunun gibi polinomların mutlak değerleri alındığında çift katlı kökler gibi davranıp x eksenini teğet geçerler, kırılma olmaz.

Katlı kök, bir polinomun bir kökünün (sıfırının) tekrar sayısını ifade eder.

Örneğin ikinci dereceden bir polinomda \(\Delta = 0\) ise çift katlı tek bir kök [\((x − a)^2\)] vardır. Eğer \(\Delta > 0\) ise iki ayrı tek katlı [\((x − a)^1.(x - b)^1\))] kök vardır.

x=a noktası fonksiyonu sıfır yapmak suretiyle \((x − a)^k\) kökünde, k bir ise tek katlı kök, birden büyük ise k katlı kök olarak ifade edilir.

Bu not biraz karışık olmuş olabilir. k katlı kökün polinomlarda ne ifade ettiğini daha anlaşılır bir şekilde yazmalıyım.

Mutlak değerin içini sıfır yapan değerler kritik notkalardır. Mutlak değerin içi sıfırdan küçük olduğunda mutlak değerin içi eksi ile çarpılır, sıfırdan büyük olduğunda aynen kalır.

Bu website katlı kökleri anlaman için çok önemli: Polinomlarda Katlı Kökler

Mutlak değerlerde çarpanlara ayırmayı yorgun oludğum için tam anlayamadım. Bi ara tekrar çalışmalıyım.

Mutlak değerli fonksiyonların x eksenini kestiği, fonksiyonu sıfır yapan noktalarda, tek değil, bir katlı köklerde türev yoktur.

Bu mutlak değerli ifadelerin türevi kısmını düzenlemeliyim. Çok karışık oldu.

Son hatırlatma: bu nota tekrar çalış!