Dik Üçgende Trigonometri

a hipotenüs, b ve c ise dik kenarlar, alfa açısı ise c ve a'nın arasında olmak üzere;

\(\sin a=\frac{\text{Karşı Dik Kenar}}{\text{Hipotenüs}}=\frac{b}{a}\)
\(\cos a=\frac{\text{Komşu Dik Kenar}}{\text{Hipotenüs}}=\frac{c}{a}\)
\(\tan a=\frac{\text{Karşı Dik Kenar}}{\text{Komşu Dik Kenar}}=\frac{b}{c}\)
\(\cot a=\frac{\text{Komşu Dik Kenar}}{\text{Karşı Dik Kenar}}=\frac{c}{b}\)

a ve b açıları tümler açılar ise (ölçüleri toplamı 90 derece)

\(\sin a=\cos b, \sin b=\cos a, \tan a=\cot b, \tan b=\cot a\) olur.

Örneğin, \(\sin 30\), \(\cos 60\)'a eşittir.

Özel Dik Üçgenlerde Trigonometrik Değerler

30-60-90 Üçgeni

\(\sin 30 = \cos 60 = 1/2\)
\(\cos 30 = \sin 60 = \sqrt{3}/2\)
\(\tan 30 = \cot 60 = 1/\sqrt{3}\)
\(\cot 30 = \tan 60 = \sqrt{3}\)

45-45-90 Üçgeni

\(\sin 45 = 1/\sqrt{2} = \sqrt{2}/2\)
\(\cos 45 = 1/\sqrt{2} = \sqrt{2}/2\)
\(\tan 45 = \cot 45 = 1\)

180 dereceden küçük geniş açıların tanjant, kotanjant ve kosinüsleri negatiftir. 180 dereceye tamamlayan aynı değerin eksilisine eşittirler.

Birim Çember

Şekildeki yarıçapı 1 birim olan birim çemberde HOP açısı alfa olmak üzere

\(x=\cos a\) ve \(y=\sin a\) olur.

Buradan \(P(\cos a, \sin a)\) bulunur.

POH dik üçgeninde pisagor bağıntısından

\(\sin^2 a + \cos^2 a = 1\) olur.

Birim çemberde AOC açısı alfa olmak üzere,

[OC ışınının x=1 doğrusunu kestiği noktanın ordinatı alfa açısının tanjant değeridir.

DOC dik üçgeninde; \(\cot a=|DC|/1=|DC|\) olur.

[OC ışınının y=1 doğrusunu kestiği noktanın apsisi alfa açısının kotanjant değeridir. Aynı zamanda x=1 doğrusuna tanjant ekseni ve y=1 doğrusuna da kotanjant ekseni denir.

\(\tan a=\frac{\sin a}{\cos a}\) ve
\(\cot a=\frac{\cos a}{\sin a}\) olur.

Apsis x eksenine verilen addır. y ekseninin adı ise "ordinat" tır.

Geniş Açıların Trigonometrik Değerleri

Şekildeki birim çemberde AOP açısı alfa olsun.

Analitik düzlemin 2. bölgesinde olan P noktasının apsisi alfa açısının kosinüsü olduğundan geçiş açıların kosinüs değerleri negatiftir.

P noktasının ordinatı alfa açısının sinüsü olduğundan geniş açıların sinüs değerleri pozitiftir.

Şekildeki birim çemberde AOK açısı alfa olsun.

[OP ışınının uzantısının x=1 doğrusunu kestiği T noktasının ordinatı alfa açısının tanjant değeridir. 4. bölgede ordinat negatif olduğundan geniş açıların tanjant değeri negatiftir.

[OP ışınının y=1 doğrusunu kestiği noktanın apsisi alfa açısının kotanjant değeridir. 2. bölgede apsis negatif olduğundan geniş açıların kotanjant değeri negatiftir.

Koordinat Düzleminde Bölgeler

Yukarıdaki dik koordinat düzleminde bölgelere göre apsis ve ordinatın işaretleri gösterilmiştir.

bölgede apsis ve ordinat pozitiftir.
bölgede apsis negatif ordinat pozitiftir.
bölgede apsis ve ordinat negatiftir.
bölgede apsis pozitif ve ordinat negatiftir.

\(\alpha + \beta = 180^{\circ}\) ise

\(\sin\alpha = \sin\beta\)

\(\cos\alpha=-\cos\beta\)

\(\tan\alpha=-\tan\beta\)

\(\cot\alpha=-\cot\beta\) olur.