Mathematics: 63. Binom Açılımı
\(n\in N\) olmak üzere \((x+y)^n\) ifadesinin
\[(x+y)^n={n\choose 0}x^n.y^0+{n\choose 1}x^{n-1}.y^1+...+{n\choose n}x^0.y^n \]
Şeklindeki açılımına binom açılımı denir.
Bu açılım, x'in azalan y'nin artan kuvvetlerine göre yapılmıştır.
Bu açılımda;
- (n+1) adet terim vardır.
- x'nın kuvvetleri azalırken, y'nin kuvvetleri artmaktadır.
- Her bir terimde x ve y'nin kuvvetleri toplamı n'dir.
- \((3x-y^2)^5\) gibi ifadelerde ise bu geçerli değildir çünkü y'nin ekstra 2 kuvveti daha vardır ve açılımdaki kuvveti ile bu çarpılır.
- Açılımdaki katsayılar toplamını bulmak için değişkenlerin yerine 1 yazılır.
- Açılımın sabit terimini bulmak için değişkenlerin yerine 0 yazılır.
\({n\choose r}\) ifadesi n'nin k'lı kombinasyonu anlamına gelir.
\[{n\choose r}=\frac{(n).(n-1).(n-2)...\rightarrow\text{ r tane}}{r!} \]
Questions
\((x+y)^n\) açılımında baştan \((r+1)\)inci terim,
\[{n\choose r}x^{n-r}.y^r \]
- Çünkü binom açılımı sayılmaya \({n\choose 1}\) den değil de \({n\choose 0}\) dan başladığı için \({n\choose r}\)'in olduğu terim r'ninci değil, r+1'incidir.
\((x+y)^{2n}\) açılımında ortanca terim,
\[{2n\choose n}.x^{2n-n}.y^n \]
Questions
- Bu soruda açılımı tamamen yapmak yerine sadece çarpımları \(x^4\)'ü veren kısımlara odaklanmalısın.
- Eğer binom açılımında sabit terim istendiğinde x yerine sıfır yazamıyorsan açılımda \({n\choose r}.x^0\)'ın olduğu kısmı bulmalısın. Çünkü \(x^0\)'ın katsayısı sabit terimdir.
- Köklü sayılar irrasyoneldir. Kaç tane terimin rasyonel olduğunun bulunması isteniyorsa kuvvetler tam sayı olmalıdır. Açılımdaki terimlerin kuvvetlerinin tam sayı olduğu kısımlar rasyoneldir.
- Aritmetik ortalama terimlerin toplamının terim sayısına bölünmesi ile bulunur. x'e bir verildiğinde bulunan şey katsayıların toplamıdır ve bu binom açılımındaki terim sayısı da n+1 dir.
