EBOB ve EKOK

EBOB (En Büyük Ortak Bölen)

İki ya da daha fazla doğal sayıyı tam bölen en büyük doğal sayıya bu sayıların EBOB'u denir

A ve B sayılarının EBOB'u

EBOB(A,B) şeklinde gösterilir.

Sayıların EBOB'unu' Bulma

Sayıların EBOB'u 3 farklı yöntemle bulunabilir. Bunlar bölen listesi yöntemi, asal çarpan listesi yöntemi ve öklid algoritmasıdır.

Bölen listesi yöntemi ve asal çarpan listesi yöntemi aşağıdaki gibidir.

Bölen Listesi Yöntemi

Önce EBOB'unu bulmak istediğimiz sayıları ilk satıra iki sütun halinde yazarak sağına dikey bir çizgi çizeriz.
Denemeye en küçük asal sayı olan 2'den başlayarak, bu asal sayının bu iki sayıdan en az birini kalansız bölüp bölmediğini kontrol ederiz.
Eğer denediğimiz asal sayı bu iki sayıdan en az birini kalansız bölüyorsa bu asal sayıyı dikey çizginin sağındaki sütuna yazarız. Eğer bu asal sayı o satırdaki tüm sayıları aynı anda kalansız bölüyorsa yanına bir işaret koyarız.
Birinci sütundaki sayının bu asal sayıya kalansız bölünüp bölünmediğine bakarız. Eğer kalansız bölünüyorsa bölümü aynı sütunda sayının altına yeni bir satıra yazarız. Eğer kalansız bölünmüyorsa sayıyı bölme işlemi yapmadan olduğu gibi alt satıra taşırız. Aynı işlemi ikinci sütundaki sayı için de yaparız.
Her yeni satır için 2., 3. ve 4. adımları tekrarlarız. Denemeye her yeni satırda bir önceki satırda kullandığımız asal sayı ile devam ederiz. Eğer son satırda kullandığımız asal sayı bu satırdaki sayılardan en az birini kalansız bölmüyorsa bu sayıdan büyük bir sonraki asal sayıyı deneyerek devam ederiz.
Herhangi bir sütunda 1 sayısına ulaştığımızda o sütun için bölme işlemleri tamamlanmıştır. Çizginin solundaki sayıların tümü 1 olduğunda EBOB bulma işlemi tamamlanmıştır.
Çizginin sağındaki sütundaki sayılardan yanlarında işaret olanlar bulmak istediğimiz EBOB değerinin asal çarpanlarıdır. Bu sayıları çarptığımızda sayıların EBOB'unu bulmuş oluruz.

Asal Çarpan Listesi Yöntemi

Aşağıda bu yöntem aynı 84 ve 120 sayıları için gösterilmiştir. Burada 2 ve 5 asal çarpanlarının daha küçük kuvvetleri 84 sayısından, 7 asal çarpanının daha küçük kuvveti 120 sayısından gelmektedir. 3 asal çarpanının kuvveti her iki sayıda da aynı olduğu için küçük kuvvet iki sayıdan da gelmektedir.

EBOB'unu bulmak istediğimiz sayıları önce ayrı ayrı asal çarpanlarına ayırırız ve alt alta asal çarpan listesi şeklinde yazarız.
Daha sonra her asal çarpan için sayıların asal çarpan listelerindeki en küçük kuvveti alırız.
Tüm asal çarpanların elde ettiğimiz bu en küçük kuvvetlerle asal çarpan listesi şeklinde yazılışı bulmak istediğimiz EBOB değerinin asal çarpanlarıdır. Bu sayıları çarptığımızda sayıların EBOB'unu bulmuş oluruz.

EKOK (En Küçük Ortak Kat)

İki ya da daha fazla doğal sayının tam katı olan en küçük doğal sayıya bu sayıların EKOK'u denir.

A ve B sayılarının EKOK'u

EKOK(A,B) şeklinde gösterilir.

Sayıların EKOK'unu Bulma

Sayıların EKOK'u 2 farklı yöntemle bulunabilir. Bunlar bölen listesi yöntemi ve asal çarpan listesi yöntemidir.

Bölen Listesi Yöntemi

Önce EKOK'unu bulmak istediğimiz sayıları ilk satıra farklı sütunlar halinde yazarak sağına dikey bir çizgi çizeriz.
Denemeye en küçük asal sayı olan 2'den başlayarak, bu asal sayının bu iki sayıdan en az birini kalansız bölüp bölmediğini kontrol ederiz.
Eğer denediğimiz asal sayı bu iki sayıdan en az birini kalansız bölüyorsa bu asal sayıyı dikey çizginin sağındaki sütuna yazarız. EBOB işleminden farklı olarak, bu sayının o satırdaki tüm sayıları aynı anda kalansız bölüp bölmediğine bakmayız.
Birinci sütundaki sayının bu asal sayıya kalansız bölünüp bölünmediğine bakarız. Eğer kalansız bölünüyorsa bölümü aynı sütunda sayının altına yeni bir satıra yazarız. Eğer kalansız bölünmüyorsa sayıyı bölme işlemi yapmadan olduğu gibi alt satıra taşırız. Aynı işlemi ikinci sütundaki sayı için de yaparız.
Her yeni satır için 2., 3. ve 4. adımları tekrarlarız. Denemeye her yeni satırda bir önceki satırda kullandığımız asal sayı ile devam ederiz. Eğer son satırda kullandığımız asal sayı bu satırdaki sayılardan en az birini kalansız bölmüyorsa bu sayıdan büyük bir sonraki asal sayıyı deneyerek devam ederiz.
Herhangi bir sütunda 1 sayısına ulaştığımızda o sütun için bölme işlemleri tamamlanmıştır. Çizginin solundaki sayıların tümü 1 olduğunda EKOK bulma işlemi tamamlanmıştır.
Çizginin sağındaki sütundaki tüm sayılar bulmak istediğimiz EKOK değerinin asal çarpanlarıdır. Bu sayıları çarptığımızda sayıların EKOK'unu bulmuş oluruz.

Asal Çarpan Listesi

EKOK'unu bulmak istediğimiz sayıları önce ayrı ayrı asal çarpanlarına ayırırız ve alt alta asal çarpan listesi şeklinde yazarız.
Daha sonra her asal çarpan için sayıların asal çarpan listelerindeki en büyük kuvveti alırız.
Tüm asal çarpanların elde ettiğimiz bu en büyük kuvvetlerle asal çarpan listesi şeklinde yazılışı bulmak istediğimiz EKOK değerinin asal çarpanlarıdır. Bu sayıları çarptığımızda sayıların EKOK'unu bulmuş oluruz.

Özellikler

A ve B pozitif tam sayılar olmak üzere,

\(EBOB(A,B).EKOK(A,B)=A.B\)

A ve B aralarında asal iki sayı ise,

\(EBOB(A,B)=1\)
\(EKOK(A,B)=A.B\)

A ve B ardışık pozitif tam sayı olmak üzere,

\(EBOB(A,B)=1\)
\(EKOK(A,B)=A.B\)

A ve B ardışık çift sayılar ise

\(EBOB(A,B)=2\)
\(EKOK(A,B)=(A.B)/2\)

A ve B pozitif tam sayılar olmak üzere,

\(EBOB(A,B)=EKOK(A,B)\) ise; \(A=B\)

x ve y aralarında asal sayılar olmak üzere,

\(EBOB(A,B)=m\) ise
\(A=m.x\) ve \(B=m.y\) olur.
A ve B'nin ortak bölen olmayan farklı çarpanları olabilir. Bu çarpanlar aralarında asaldır. Eğer asal değillerse EBOB m den daha büyük bir değer olur. Çünkü x ve y ekstra ortak bölen içerir.
\(EKOK(A,B)=m.x.y\)