Basit Eşitsizlikler

Mathematics

a ve b birer gerçek sayı olmak üzere,

\(a < x < b\) ve \(C.K.=(a,b)\)

\(a \le x < b\) ve \(C.K.=[a,b)\)

\(a \le x \le b\) ve \(C.K.=[a,b]\)

\(A=(1,5)\) ve \(B=[0,4]\) olmak üzere,

\(A \cup B\): A ve B'nin birleşiminin kümesi anlamına gelir. Bu küme A ve B'de bulunan tüm değerleri içerir.
- \([0,5)\)
\(A \cap B\): A ve B'nin kesişiminin kümesi anlamına gelir. Bu küme sadece A ve B de bulunan ortak değerleri içerir.
- \((1,4]\)
\(A \setminus B\): A'da olup, B'de olmayan değerlerin oluşturduğu kümedir.
- \((4,5)\)
\(B \setminus A\): B'de olup, A'da olmayan değerlerin oluşturduğu kümedir.
- \([0,1]\)

İki niceliğin birbirinden küçük ya da büyük olma durumunu belirten bağıntılara eşitsizlik adı verilir.

\(ax+b < 0\)
\(ax+b > 0\)
\(ax+b \le 0\)
\(ax+b \ge 0\)

Bir eşitsizliğin her iki tarafına aynı gerçek sayı eklenir ya da çıkarılırsa eşitsizlik değişmez.

\(a < b\longrightarrow a\pm c < b\pm c\)

Bir eşitsizliğin her iki tarafı aynı pozitif gerçek sayı ile çarpılır ya da bölünürse eşitsizlik yön değiştirmez.

c > 0 olmak üzere,

\(a < b \longrightarrow a.c < b.c\)

\(a < b \longrightarrow a/c < b/c\)

Bir eşitsizliğin her iki tarafı aynı negatif gerçek sayı ile çarpılır ya da bölünürse eşitsizlik yön değiştirir.

c < 0 olmak üzere

\(a < b \longrightarrow a.c > b.c\)

\(a < b \longrightarrow a/c > b/c\)

\(a < x < b\) gibi çift taraflı eşitsizliklerde bir tarafa uyguladığın işlemi her tarafa uygulamak zorundasın.

\(a < b < c\) ise \(a < b\) ve \(b < c\)

\(a < b\) ve \(b < c\) ise \(a < c\)

Eşitsizlikler taraf tarafa toplanabilir.

\(a < b\) ve \(c < d\) toplanırsa \(a+c < b+d\) olur.
\(a \le b\) ve \(c < d\) toplanırsa \(a+c < b+d\) olur.
\(a < b\) ve \(c \le d\) toplanırsa \(a+c < b+d\) olur.
\(a \le b\) ve \(c \le d\) toplanırsa \(a+c \le b+d\) olur.

Fakat taraf tarafa çıkarılamaz veya bölünemez. Çünkü böyle yapılırsa eşitlik bozulabilir.

x ve y gerçel sayılar iken \(a < x < b\) ve \(c < y < d\) ifadeleri verilip \(x-y\) ifadesinin aralığı sorulduğunda önce y'nin eşitliği -1 ile çarpılır ve \(-c > -y > -d\) elde edilir. Ardından taraf tarafa toplama yapılabilir.

Eğer soruda \(a < x < b\) ve \(c < y < d\) olmak üzere x ve y gerçel sayılar ise, \(x+y\) sorulduğunda taraf tarafa toplama yapılabilir.

Fakat eğer x ve y tam sayılar ise, örneğin \(x+y\)'nin alabileceği en büyük değer sorulduğunda taraf tarafa toplama yapılmaz. Bunun yerine x ve y'nin kendi aralıklarındaki en büyük değerleri alınıp toplanır.

\(a \le x < b\), \(c \le y \le d\) ve x ve y gerçel sayılar olmak üzere \(x.y\)'nin en büyük değeri sorulduğunda,

a.c, a.d, b.c, ve b.d işlemlerinin sonuçları bulunur. a.c, ve a.d'de a,c ve d sayılarının hepsinde dahil işareti olduğu için bunların dahil olduğuna dair bir işaret konulur.

Eğer çarpılan sayıların birinde dahil, diğerinde dahil değil işareti veya ikisinde de dahil değil işareti varsa çarpılan sayılar dahil olmaz.

Çıkan sonuçların en küçüğü eşitliğin küçük kısmına, en büyüğü de eşitliğin büyük kısmına yazılır. Çarpılan sayılar dahil ise dahil işaretli eşitsizlik sembolü konur.

a.c nin sonucu en küçük, b.c nin sonucu en büyük ise; \(a.c \le x.y < b.c\)

\(3 < x < 6\) için, \(x^2\)'nin aralığı sorulduğunda, her taraf pozitif olduğu için her tarafın karesi alınabilir ve cevap \(9 < x < 36\) olur.

\(-5 < x \le -2\) için, \(x^2\) nin aralığı soruluyorsa her taraf negatif olduğu için kareleri alınabilir ve cevap \(4 \le x < 25\) olur.

\(-4 < x < 7\) için \(x^2\)'nin aralığı sorulduğunda, x^2 nin hiçbir cevabı negatif olamayacağı, ve en küçük değeri \(0^2=0\) olduğu için 0'dır. En büyük değeri ise aralıktaki sayılardan hangisinin karesi daha büyükse odur. \((-4)^2=16\), \(7^2=49\) olduğu için 49'dur. \(0\le x < 49\)

\(-6\le x < 2\) için, \(x^2\)'nin aralığı \(0\le x \le 36\)

Questions

a ve b aynı işaretli ve sıfırdan farklı iki gerçek sayı olmak üzere, sayıların -1. kuvvetleri alınırsa, eşitlik yön değiştirir.

\(a < b\) ise \(1/a > 1/b\)

\(1 < x\) ise, \(x < x^2 < x^2\)
\(0 < x < 1\) ise, \(x^3 < x^2 < x\)
\(-1 < x < 0\) ise, \(x^2 > x^4\) ve \(x < x^3\)
\(x < -1\) ise, \(x^2 < x^4\) ve \(x > x^3\)

Questions