Köklü Sayılar-1

\(n > 1\) ve n bir tam sayı olmak üzere, \(x^n=a\) eşitliğini sağlayan x sayısına a'nın n. kuvvetten kökü denir.

\[\sqrt[n]{a} \]

Yukarıdaki ifadede n kökün derecesi olarak adlandırılır.

Eğer kökün derecesi bir tek sayı ise, a reel sayılar kümesindeki tüm değerleri alabilir.
Eğer kökün derecesi bir çift sayı ise, a negatif reel sayılardan biri olamaz. \(a\ge 0\) olmak zorundadır.

\(n=2\) olmak üzere \(\sqrt{a}\) ifadesi karekök a şeklinde okunur ve \(\sqrt[2]{a}\) şeklinde de yazılabilir.
\(\sqrt[3]{a}\) ifadesi küpkök a şeklinde okunur.
\(\sqrt[4]{a}\) ifadesi 4. dereceden kök a şeklinde okunur. 4 ve sonraki kökler n. dereceden kök a şeklinde okunur.

Bir Gerçek Sayıyı Kök Dışına Çıkarma

n bir pozitif tam sayı olmak üzere,

\(\sqrt[2n]{x^{2n}}=|x|\)
\(\sqrt[2n+1]{x^{2n+1}}=x\)

Köklü Sayıların Üslü Sayılara Çevrilmesi

Her köklü sayı bir üslü sayıdır. n pozitif bir tam sayı olmak üzere,

\(\sqrt[n]{x^m}\) ifadesi \(x^{m/n}\) şeklinde yazılabilir.

x bir doğal sayı olmak üzere,

\(\sqrt{x^2}=x\)

\(\sqrt{x^2.y}=x\sqrt{y}\)

Köklü ifadenin değerinin tam sayılarla karşılaştırması yapılırken,

\(\sqrt[n]{a^n} < \sqrt[n]{x} < \sqrt[n]{b^n}\)

Eşitsizliğini sağlayan a ve b ardışık sayıları bulunur.

Örneğin;

\(\sqrt[2]{9}=3 < \sqrt[2]{10} < \sqrt[2]{16}=4\)
\(\sqrt[2]{10}\) sayısı 3 ve 4 tam sayıları arasındadır.

Köklü Sayılarda Toplama-Çıkarma İşlemi

\[a.\sqrt[n]{x}+b.\sqrt[n]{x}-c.\sqrt[n]{x}=(a+b-c).\sqrt[n]{x} \]

Köklü Sayılarda Çarpma-Bölme İşlemi

\[\sqrt[n]{x}.\sqrt[n]{y}=\sqrt[n]{x.y} \]

\(y\) sıfırdan farklı bir sayı olmak üzere,

\[\frac{\sqrt[n]{x}}{\sqrt[n]{y}}=\sqrt[n]{\frac{x}{y}} \]

Kök Derecesinin Genişletilmesi veya Sadeleştirilmesi

\(x\in R^+\), \(m\in Z\); \(n,k\in Z^+\) ve \(n\ge 2\) olmak üzere;

\[\sqrt[n]{x^m} = \sqrt[n.k]{x^{m.k}} = \sqrt[n/k]{x^{m/k}} = x^{m/n} \]

Örneğin; \(2^3=2^{3.2/2}=2^{6/2}\)

İç İçe Kökler

m ve n, 1'den büyük tam sayılar olmak üzere,

\[\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=(a^{1/n})^{1/m}=a^{1/m.n}=\sqrt[m.n]{a} \]

\(a^m.\sqrt[n]{b}=a^{m.n/n}.b^{1/n}=\sqrt[n]{a^{m.n}.b}\)
\(\sqrt[m]{a.\sqrt[n]{b}}=\sqrt[m]{\sqrt[n]{b.a^n}}=\sqrt[m.n]{b.a^n}\)

Eşlenik

Köklü bir ifadeyi kökten kurtarmak için köklü ifade eşleniği ile çarpılabilir.

\(\sqrt{a}\)'nın eşleniği \(\sqrt{a}\) dır.

\(\sqrt{a}.\sqrt{a}=a\)

\(\sqrt{a}+\sqrt{b}\)'nin eşleniği \(\sqrt{a}-\sqrt{b}\) dir.

\((\sqrt{a}+\sqrt{b}).(\sqrt{a}-\sqrt{b})=a-b\)
Birincinin karesi eksi ikincinin karesi.

\(a+\sqrt{b}\)'nin eşleniği \(a-\sqrt{b}\) dir.

\((a+\sqrt{b}).(a-\sqrt{b})=a^2-b\)
Birincinin karesi eksi ikincinin karesi.

\(x > y\) ve \(a=x+y\), \(b=x.y\) olmak üzere,

\[\sqrt{a\pm 2\sqrt{b}}=\sqrt{(x+y)\pm 2.\sqrt{x.y}}=\sqrt{x}\pm\sqrt{y} \]

Questions

Kök 10'un kök 2 ve kök 5'e ayrılabildiğine dikkat et. Ardından parantez içine alınabilirler.