Dik Dairesel Koni
Bir dairenin üzerindeki tüm noktaların daire dışındaki bir noktaya birleşmesiyle elde edilen cisimlere dairesel koni denir.
Bu daireye koninin tabanı ve daire dışındaki noktaya da koninin tepe noktası denir.
Tepe noktasından tabana indirilen dikme taban dairesinin merkezinden geçiyor ise bu tür konilere dik dairesel koni denir.
Tepe noktasından ve taban çemberi üzerindeki noktalardan geçen doğrulara koninin ana doğruları denir.
Şekildeki dik dairesel konide;
- \([TO]\bot [AB]\)
- \(\text{Yükseklik: }|TO|=h\)
- \(\text{Taban Yarıçapı: }|AO|=|OB|=r\)
- \(\text{Ana Doğru Parçasının Uzunluğu: }|TA|=|TB|=l\)
TAO veyaTOB dik üçgeninde pisagor bağıntısı kullanılırsa:
\[h^2+r^2=l^2 \]
Koninin Hacmi
Koninin hacmi, piramidin hacmi gibi bulunur. Yani hacmi, taban alanı ile yüksekliğin çarpımının üçte birine eşittir.
- Tabanı daire olduğundan taban alanı \(\pi.r^2\) dir.
\[\text{Hacim}=\frac{\pi.r^2.h}{3} \]
Bir koni ile bir silindirin taban yarıçapları ve yükseklikleri eşit ise, koninin hacmi silindirin hacminin üçte birine eşit olur.
Koninin Açılımı ve Alanı
Dik dairesel koninin yanal yüzeyinin açılımı bir daire dilimidir.
Aşağıdaki şekilde; solda verilen kapalı haldeki dik dairesel koni açılırsa; sağda görüldüğü gibi, T merkezli ve \(l\) yarıçaplı bir daire dilimi ile O merkezli ve \(r\) yarıçaplı taban dairesi elde edilir.
\[\text{Yanal Alan}=\frac{a}{360}.\pi.l^2 \]
\[\text{Koninin Alanı}=\text{Yanal Alan}+\pi.r^2 \]
|AB| yayının uzunluğu küçük dairenin çevresi, yani \(2\pi.r\) kadardır. Bu sebeple, daire diliminin açısı \(a\) ise, daire diliminin yay uzunluğu formülünden aşağıdaki bağıntı elde edilir:
\[\frac{a}{360}.2\pi.l=2\pi.r \]
Formül sadeleştirildiğinde geriye kalan formül ise aşağıdaki gibidir.
\[\frac{r}{l}=\frac{a}{360} \]
Koninin yanal alan formülünde \(a/360\) yerine \(r/l\) yazıldığında; \(\text{Yanal Alan}=\pi.r.l\) formülü elde edilir.
Dönel Koni
Dik üçgenin, bir dik kenarı etrafında 360 derece döndürülmesi ile bir dik dairesel koni elde edilir.
Dik üçgenin hipotenüsü etrafında 360 derece döndürülmesi ile tabanları ortak olan iki tane dik dairesel koni oluşur.
Kesik Koni
Bir koni; tabanına paralel bir düzlemle kesildiğinde, arakesit ile taban düzlemi arasında kalan cisme kesik koni denir.
Aşağıdaki şekil 1 de verilen koninin; C ve D noktalarından geçen ve tabana paralel olan düzlem boyunca kesilmesiyle şekil 2 deki gibi kesik koni elde edilmiştir.
Şekil 1'de; (T,CD) ile (T,AB) konileri benzerdir.
\[\text{Benzerlik Oranı}=\frac{|TM|}{|TO|}=\frac{|TC|}{|TA|}=\frac{|TD|}{|TB|}=\frac{r}{R} \]
- Benzer cisimlerin alanlarının oranı benzerlik oranının karesine,
- Hacimlerinin oranı ise benzerlik oranının küpüne eşittir.
Kesik koni sorularında kesik piramitlerde olduğu gibi; genellikle şekil tam koniye tamamlanarak benzerlik kullanılır.
Bir koni, taban paralel düzlemlerle yükseklikleri eş parçalara ayrıldığında, tepe noktasından başlamak üzere elde edilen parçaların hacimleri; V, 7V, 19V, 37V,... biçiminde olur.
Questions
Bu soruyu tekrar çöz. Güzel bir soru.
