Basit Harmonik Hareket
Eşit sürede tekrarlanan hareketlere periyodik hareket, periyodik hareketin bir eksen üzerindeki sabit bir nokta etrafında gerçekleşmesine titreşim hareketi denir.
Ses üreten cisimlerin hareketi, salıncakta sallanan çocuğun hareketi, bir cismin yayın ucundaki ileri geri hareketi titreşim hareketine örnek olarak verilebilir.
Sürtünmelerin önemsenmediği bir ortamda bir cismin denge konumuna eşit uzaklıktaki iki nokta arasında ve belirli zaman aralıklarında geri çağırıcı kuvvetin etkisiyle yaptığı harekete basit harmonik hareket denir.
- Basit harmonik hareket bir titreşim hareketidir.
İpin ucuna bağlanmış bir cismin denge konumundan uzaklaştırılması ile cismin yaptığı hareket basit harmonik harekettir. Bu düzeneğe basit sarkaç adı verilir.
Yayın ucuna bağlanmış bir cismin denge konumundan uzaklaştırılması ile cismin yaptığı hareket basit harmonik harekettir. Bu düzeneğe yay sarkacı adı verilir.
Temel Kavramlar
Uzanım
Basit harmonik hareket yapan bir cismin herhangi bir anda denge konumuna olan uzaklığına uzanım denir.
- Uzanım \(\vec{x}\) ile gösterilir.
- Vektörle bir büyüklüktür.
- SI'da birimi metredir.
Genlik
Basit harmonik hareket yapan bir cismin uzanımının en büyük değerine genlik denir.
- Genlik \(\vec{A}\) ile gösterilir.
- Vektörel bir büyüklüktür.
- SI'da birimi metredir.
Periyot
Bir tam salınım için geçen süreye periyot denir.
- T ile gösterilir.
- SI birimi saniyedir.
Frekans
Birim zamandaki salınım ya da titreşim sayısına frekans denir.
- f ile gösterilir.
- SI birimi Hertz (Hz) dir.
Basit harmonik hareketin frekans ve periyotunun çarpımı daima 1'e eşittir.
- \(T.f = 1\)
Denge noktası O noktası olan bir basit harmonik harekette cismin şekildeki K noktasından harekete başlayıp N'ye gidip tekrar K'ye dönmesi bir tam salınımdır.
- O dan başlayıp, K'ya gidip, ardından L ye gittikten sonra tekrar O'ya dönmesi de bir tam salınımdır.
Aşağıda periyodu T olan cismin eşit noktalar arasını katetme süreleri verilmiştir.
- Yayda geri çağırıcı kuvvet \(\vec{F}=-k.x\) olduğundan O noktasında F sıfırdır. K noktasında yay uzunluğu arttığı için sağa doğru maksimum, N noktasında sola doğru maksimumdur.
- Cismin hızı O noktasında iken maksimum, K ve N noktalarında sıfırdır.
- Geri çağırıcı kuvvetin etkisiyle oluşan ivme sebebiyle cisim K ve N noktalarından O noktasına giderken giderek hızlanır. K-L arasını, L-O arasından daha uzun sürede alır.
- Geri çağırıcı kuvvet F değiştiği için ivme de değişir. İvme O noktasıda sıfırdır.
- cisim O-M arasını t sürede alıyorsa, M-N arasını 2t sürede alır.
Basit Harmonik Hareket ve Çembersel Hareket Arasındaki İlişki
Düşey düzlemde düzgün çembersel hareket yapan cismin yatay düzlem üzerindeki izdüşümünün hareketi basit harmonik harekettir.
Düşey düzlemde düzgün çembersel hareket yapan cismin yarıçap vektörü x ekseni ile \(\theta\) açısı yaptığı bir anda hızı v, ivmesi a, merkezcil kuvvet F ise basit harmonik hareket yapan cismin konumu x, hızı \(v_x\), ivmesi \(a_x\) ve geri çağırıcı kuvvet \(F_x\) tir. Bunlar arasındaki ilişki aşağıdaki gibidir. (r = genlik)
- \(x = r.cos\theta\)
- \(v_x = v.sin\theta\)
- \(a_x = a.cos\theta\)
- \(F_x = F.cos\theta\)
Basit Harmonik Harekette Konumun Zamana Göre Değişimi
Genliği A olan basit harmonik hareket yapan bir cismin herhangi bir andaki konumunun büyüklüğü +A ve -A değerleri arasında sürekli değişir.
Başlangıç noktası denge noktası ise konum-zaman grafiği aşağıdaki gibidir.
Başlangıç noktası genlik noktası ise konum-zaman grafiği aşağıdaki gibidir.
Basit Harmonik Harekette Kuvvet ve Kuvvetin Konuma Göre Değişimi
Basit harmonik hareket, yönü sürekli denge noktasına olan kuvvetin etkisinde gerçekleşir. Bu nedenle bu kuvvete geri çağırıcı kuvvet denir.
Geri çağırıcı kuvvetin büyüklüğü cismin konumuna bağlı olarak sürekli değişir. Cisim denge noktasından geçerken büyüklüğü sıfır, genlik noktalarında ise maksimum büyüklüktedir.
Uzanımın x olduğu bir anda merkezcil kuvvet aşağıdaki gibidir.
- \(\vec{F} = -m.\omega^2.\vec{x}\)
Basit harmonik hareket yapan cisimlerin kuvvet-uzanım grafiği ve kuvvet-zaman grafiği aşağıdaki gibidir.
Basit Harmonik Harekette İvme ve İvmenin Konuma Göre Değişimi
Geri çağırıcı kuvvetin etkisinde gerçekleşen basit harmonik hareket ivmeli bir harekettir.
- İvmenin büyüklüğü cismin konumuna bağlı olarak sürekli değişir. Cisim denge noktasından geçerken büyüklüğü sıfır, genlik noktalarında ise maksimum büyüklüktedir.
- İvme vektörünün yönü daima geri çağırıcı kuvvet ile aynı yöndedir.
Uzanımın x olduğu bir anda ivmenin formülü aşağıdaki gibidir.
- \(\vec{a}-\omega^2.\vec{x}\)
Basit harmonik hareket yapan cisimlerin ivme-uzanım grafiği ve ivme-zaman grafiği aşağıdaki gibidir.
Basit Harmonik Harekette Hız ve Hızın Zamana Göre Değişimi
Basit harmonik hareket yapan cismin hızı konumuna bağlı olarak sürekli değişir.
- Hızın büyüklüğü cisim denge noktasından geçerken maksimum, genlik noktalarında ise sıfırdır.
Uzanımın x olduğu bir anda cismin hızı aşağıdaki gibi hesaplanabilir. (A genlik, x ise cismin O noktasına mesafesidir.)
- \(v = \omega.\sqrt{A^2 - x^2}\)
Uzanımın sıfır olduğu denge noktasında cismin hızı maksimum değerde \((v = \omega.A)\) olur.
\(t=0\) anında maksimum uzanım konumunda olan cismin bir periyotluk (T) süresindeki hız-zaman grafiği aşağıdaki gibidir.
Yay Sarkacı
Bir cismin, bir ucu sabitlenmiş esnek bir yayın diğer ucuna asılmasıyla oluşan düzeneğe yay sarkacı denir.
Yayın ucuna bağlı cisim denge konumundan bir miktar uzaklaştırılıp serbest bırakıldığında yay kuvvetinin etkisinde gerçekleşen hareket basit harmonik harekettir.
Yay sarkacında yay kuvveti, geri çağırıcı kuvvettir. yay kuvveti \(k.x\), geri çağırıcı kuvvetin genel ifadesi \(m.\omega^2.x\)'e eşitlendiğinde hareketin periyodu aşağıdaki gibidir.
\[T = 2\pi.\sqrt{\frac{m}{k}} \]
Tamek şeklinde kodlayabilirsin.
Yay sarkacının periyodu yalnızca cismin kütlesine ve yayın yay sabitine bağlıdır. yayın yatay ya da düşey ile bir açı yapması ya da ortamın yer çekim ivmesi periyodu etkilemez.
Yay sarkacının periyodu, hareketin genliğine bağlı değildir.
Yay sarkacı düzeneğinde birden fazla yay kullanılmışsa eşdeğer yay sabiti aşağıdaki gibidir.
- Yaylar paralel bağlı ise: \(k_{es}=k_1+k_2+...\)
- Yaylar seri bağlı ise: \(1/k_{es} = 1/k_1 + 1/k_2 + ...\)
Basit Sarkaç
Bir cismin, bir ucu tavana sabitlenmiş ipin diğer ucuna asılmasıyla oluşan düzeneğe basit sarkaç denir.
İpin ucunda dengede olan cisim, denge konumundan bir miktar uzaklaştırılıp serbest bırakıldığında cismin ağırlık kuvvetinin etkisinde gerçekleşen hareket basit harmonik harekettir. (İğin düşeyle yaptığı açının \(10\degree\) den küçük olması gerekir.)
Uzunluğu \(l\) olan ipin ucuna bağlı cismin yer çekimi ivmesinin g olduğu ortamdaki basit harmonik hareketin periyodu aşağıdaki gibidir.
\[T = 2\pi.\sqrt{\frac{l}{g}} \]
Tolga şeklinde kodlayabilirsin.
- Basit sarkacın periyodu cismin kütlesine bağlı değildir.
- İpin düşeyle yaptığı açının küçük olduğu durumlarda, hareketin periyodu genliğe bağlı değildir.
Saniyeleri vuran sarkacın periyodu iki saniyedir. Büyük sarkaçlı duvar saatleri buna örnektir.
Why?
- Cismi aşağı doğru m.g çeker. \(mg.sina\) ise cisme denge noktasına doğru kuvvet uygular.
- sina değeri, karşı/hipotenüs olduğundan salınım / ip uzunluğuna eşittir.
- Denge noktasına doğru oluşan bu \(mg.sina\) kuvvetini geri çağırıcı kuvvet denklemine eşitlersek \((m.g.sina = m.\omega^2.x)\) bu formül elde edilir.
- Bu sadece küçük açılar için geçerli bir formül. (Neden büyük açılarda olmadığını araştırmam gerekli.)
Questions
