Binom
\[\begin{array}{c} 1 \\ 1 \quad 1 \\ 1 \quad 2 \quad 1 \\ 1 \quad 3 \quad 3 \quad 1 \\ 1 \quad 4 \quad 6 \quad 4 \quad 1 \\ 1 \quad 5 \quad 10 \quad 10 \quad 5 \quad 1 \\ 1 \quad 6 \quad 15 \quad 20 \quad 15 \quad 6 \quad 1 \\ ... \quad ... \quad ... \quad ... \quad ... \quad ... \quad ... \end{array} \]
Pascal Üçgeni
- Pascal üçgeninde her satır 1 sayısı ile başlar ve 1 sayısı ile biter.
- Her sayı bir üst satırda sayının üst solunda ve üst sağında bulunan sayıların toplamıdır.
- Her satırda baştan ve sondan eşit uzaklıktaki sayılar eşittir.
- Pascal üçgeninde her bir satırdaki sayıların toplamı 2'nin bir doğal sayı kuvvetine eşittir.
Binom Açılımı
\(n\in N\) olmak üzere, \((x+y)^n\) ifadesinin
\[(x+y)^n={n\choose 0}.x^n.y^0+{n\choose 1}.x^{n-1}.y^1+{n\choose 2}.x^{n-2}.y^2+...+{n\choose n}.x^0.y^n \]
Şeklindeki açılımına binom açılımı denir.
- Bu açılım, x'in azalan y'nin artan kuvvetlerine göre yapılmıştır.
- x'in kuvvetleri \({n\choose r}\) ifadesindeki n-r farkı şeklindedir. y'nin kuvvetleri ise r dir.
- Açılımda - n+1 adet terim vardır.
- x'in kuvveti ile y'nin kuvvetinin toplamı n'yi verir.
- Açılımdaki katsayılar toplamını bulmak için değişkenlerin yerine 1 yazılır.
- Açılımın sabit terimini bulmak için değişkenlerin yerine 0 yazılır.
- \([x^3-(1/x)]^8\)'in açılımında sabit değer bulmak için 0 yazıldığında tanımsızlık ortaya çıkar. Bunun yerine \(x^0\) olan terim bulunmalıdır. Yani \({8\choose r}.(x^3)^{8-r}.(-x^{-1})^r\) ifadesinde (3.8-3.r)+(-1.r)'nin 0 olduğu değerler bulunmalıdır.
\((a+b)^n\) açılımındaki terimler a'nın azalan kuvvetlerine göre yazıldığında,
\[{n\choose 0},{n\choose 1},{n\choose 2},...,{n\choose r} \]
\[\text{Baştan (r+1). terim} = {n\choose r}.a^{n-r}.b^r \]
Eğer kuvvetli 16 olan bir binom açılımında bir terim baştan 12. terim ise, r+1=12 olduğundan r=11 olarak bulunur. Yani bu terim \({16\choose 11}.x^{5}.y^{11}\) dir.
Elimizde baş katsayısı n olan bir binom açılımı olsun. Sondan r. terimin baştan kaçıncı terim olduğunu bulmak için yöntem:
- Terim baştan x. olsun. x+r'yi topladığımızda n+1'i elde ederiz çünkü x. terimi 2 kez sayarız.
- Buradan terimin baştan (n+1)-r. terim olduğu bulunur.
\((a+b)^2n\) açılımında \(n\in Z^+\) ve açılım a'nın azalan kuvvetlerine göre düzenlenirse,
\[\text{Ortanca Terim} = {2n\choose n}.a^n.b^n \]
- 2n+1 tane terim vardır ve ortanca terim [(2n+1)+1]/2. terimdir.
- \({2n\choose r}\)'de r+1=(2n+1+1)/2 olduğundan r+1=n+1, r=n olarak bulunur.
- Yani ortanca terim \({2n\choose n}.a^n.b^n\) dir.
Questions
Easy
- Binom açılımındaki sabit terimi x yerine 0 yazmadan bulma.
- Katsayılar toplamını terim sayısına (n+1) bölerek aritmetik ortalamalarını bulabiliriz.
