Doğrunun Analitiği
Doğrunun Eğimi
Bir doğrunun x ekseniyle pozitif yönde yapmış olduğu açıya doğrunun eğim açısı denir.
Bir doğrunun eğim açısının tanjant değerine ise o doğrunun eğimi denir ve m ile gösterilir.
- Eğer pozitif yönde yapılan açı 90 dereceden küçük ise eğim pozitif, büyükse eğim negatiftir.
- \(\tan x\), onu bütünleyen açının negatifine eşittir. \((-\tan (180-x))\)
- Bir doğrunun eğim açısı 90 derece olduğunda (x eksenine dik) tanjant 90 tanımsız olduğundan eğimi de tanımsızdır.
- Doğrunun eğim açısı 0 olduğunda (y eksenine dik) ise \(tan 0\) yani eğimi de sıfırdır.
Bir nokta bir doğru denklemini sağlıyorsa o nokta doğrunun üzerindedir.
İki Noktası Bilinen Doğrunun Eğimi
Analitik düzemde AB doğrusu üzerinde \(A(x_1,y_1)\) ve \(B(x_2,y_2)\) noktaları alalım.
AB doğrusunun x ekseni ile yaptığı açı \(a\) olsun. Bu doğrunun eğimi:
\[\tan a = m = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \]
Eğimi ve Bir Noktası Bilinen Doğru Denklemi
Eğimi m olan ve \(A(x_1,y_1)\) noktasından geçen doğrunun denklemi, doğru üzerinde değişken bir \(P(x,y)\) noktası alınarak bulunur.
\[m=\frac{y-y_1}{x-x_1}\quad\rightarrow\quad y-y_1=m(x-x_1) \]
Denklemi Bilinen Doğrunun Eğimi
\(y=mx+n\) tipi denklemlerde eğim, x'in katsayısı olan m'dir.
İki Noktası Bilinen Doğrunun Eğimi
\(A(x_1,y_1)\) ve \(B(x_2,y_2)\) noktalarından geçen doğrunun denklemi için önce AB doğrusunun eğimi bulunur. Daha sonra eğimi ve bir noktası bilinen doğru denklemi gibi yazılır.
\[m_{AB}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\quad\to\quad y-y_1=m_{AB}(x-x_1) \]
Eksenleri Kestiği Noktaları Bilinen Doğru Denklemi
Dik koordinat düzleminde, y eksenini b, x eksenini a doğrusunda kesen bir doğrunun denklemi:
\[\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1 \]
Şeklinde bulunabilir.
Doğrunun Grafiğinin Çizimi
Bir doğrunun grafiğini çizebilmek için doğrunun üzerindeki iki noktayı bilmek yeterlidir.
Bu noktalar doğrunun x ve y eksenlerini kestiği noktalar olarak seçilirse işlemlerimiz daha kolay olur.
\(ax+by+c=0\) tipindeki doğru denklemlerinde;
- \(x=0\) yazarak y eksinin kestiği noktayı
- \(y=0\) yazarak x eksenini kestiği noktayı buluruz.
Bu noktaları birleştirerek doğru grafiğini çizeriz.
\(y=mx+n\) şeklindeki denklemlerde n, doğrunun y eksenini kestiği nokta, m ise doğrunun eğimidir. n=0 ise doğru orijinden geçer.
- \(y=x\) doğrusu 1. açıortay doğrusu,
- \(y=-x\) doğrusu ise 2. açıortay doğrusu olarak adlandırılır.
\(y=x\) doğrusu koordinat düzleminin 1. ve 3. bölgelerinde doğrusal olarak artarken, \(y=-x\) doğrusu düzlemin 2. ve 4. bölgelerinde doğrusal olarak azalır.
Eksenlere Dik Olan Doğrular
\(x=a\) tipindeki doğrular x eksenin dik ve y eksenine paralel olan doğrulardır.
- x=a doğrusu x eksenini apsisi a olan noktada keser.
\(y=b\) tipindeki doğrular y eksenine dik ve x eksenine paralel olan doğrulardır.
- \(y=b\) doğrusu y eksenini ordinatı b olan noktada keser.
İki Doğrunun Birbirine Göre Durumu
- \(d_1:a_1x+b_1y+c_1=0\) ve
- \(d_2:a_2x+b_2y+c_2=0\) olsun.
Çakışık Doğrular
Tüm noktaları ortak olan doğrulara çakışık doğrular denir.
\[\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2} \]
Denklemi sağlanıyorsa bu iki doğru çakışıktır/üst üstedir.
Paralel Doğrular
Eğimleri birbirine eşit olan ve hiç bir ortak nokası olmayan doğrular paraleldir.
\[\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\ne\frac{c_1}{c_2} \]
Denklemi sağlanıyorsa, veya \(y=mx+n\) denkleminde m değerleri aynı ve n değerleri farklı ise doğrular paraleldir.
Dik Doğrular
Eğimleri çarpımı -1 olan doğrulardır.
- \(m_1.m_2=-1\) ise doğrular diktir.
Kesişen Doğrular
\[\frac{a_1}{a_2}\ne\frac{b_1}{b_2} \]
Denklemi sağlanıyorsa (paralel değillerse) doğrular bir noktada kesişir.
İki doğrunun kesişim noktasının koordinatlarını, iki denklemin ortak çözümünden bulabiliriz.
- \(d_1:y=ax+b\) ve \(d_2:y=cx+d\) olmak üzere, bu doğrular bir noktada kesişiyorsa, bu noktada x'e verilen aynı değer için y değerleri de birbirine eşit olur.
- \(ax+b=cx+d\) denklemi kurularak bu x değerinin kaç olduğu bulunabilir.
Bir Noktanın Bir Doğruya Uzaklığı
Bir \(K(x_1,y_1)\) noktası ile bir \(ax+by+c=0\) doğrusu olsun.
Bu noktanın bu doğruya uzaklığı, noktadan doğruya indirilen dikmenin uzunluğuna eşittir. Bu uzunluğa d dersek:
\[d=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}} \]
- Payda, bir dik üçgenin uzun kenarının denklemidir. Yani doğrunun denklemi \(3x+4y+c=0\) ise, uzun işlemler yapmak yerine direkt 3-4-5 üçgeninden 5 yazılabilir.
İki Paralel Doğrunun Birbirine Olan Uzaklığı
Paralel doğruların eğimleri birbirine eşit olduğundan \(d_1\) ve \(d_2\) paralel doğruları aşağıdaki gibi olsun:
- \(d_1:ax+bx+c_1=0\)
- \(d_2:ax+bx+c_2=0\)
Bu iki doğru arasındaki uzaklık (h) aşağıdaki formül ile bulunabilir.
\[h=\frac{|c_2-c_1|}{\sqrt{a^2+b^2}} \]
Eğer birinci doğrunun a ve b değerleri ikincisine eşit değilse, eşit olana kadar k katsayısı ile çarpılır.
- Örneğin: \(8x-15y+16=0\) ve \(16x-30y-36=0\) denklemlerinde bu formülü kullanabilmek için ilk denklem 2 ile genişletilmeli ve \(16x-30y+32=0\) olmalıdır.
- Denemelerde soruların bir çoğu genelde üçgende benzerlikle çözülür. Aklında olsun.
Questions
Easy
Medium
- Bu soruyu tekrar çöz.
- y=x doğrusunda x ne ise y de odur. y=-x doğrusunda ise ters işaretlisidir.
- Bir üçgenin ağırlık merkezinin x ve y koordinatları, köşelerin x ler toplamının 3'e bölümü ve y'ler toplamının 3'e bölümüdür.
