Düşeyde Çembersel Hareket

TODO: Hoca bu konuyu çok yüzeysel anlattı. Başka birinden dinlemem gerekebilir.

Bir cisim bir ipin ucuna bağlanarak düşey düzlemdeki yörüngesi üzerindeki K,L,M,N,P,R noktalarından geçen bir cisme etki eden kuvvetlerin yönleri ve merkezcil kuvvetler aşağıdaki gibi yazılabilir.

K noktasında: \(F_{merkezcil} = G+T_{ip} = \frac{m.v^2}{r} = m.\omega^2.r\)
L noktasında: \(F_{merkezcil} = G.\cos{a}+T_{ip} = \frac{m.v^2}{r} = m.\omega^2.r\)
M ve R noktasında: \(F_{merkezcil} = T_{ip} = \frac{m.v^2}{r} = m.\omega^2.r\)
N noktasında: \(F_{merkezcil} = T_{ip}-G = \frac{m.v^2}{r} = m.\omega^2.r\)

İpteki gerilme kuvveti K noktasında en küçük, N'de en büyüktür.

İp K ya da N'de koparsa cisim yatay atış, M'de koparsa yukarı doğru düşey atış, R de koparsa aşağıya düşey atış hareketi yapar.

Yatay Virajda Hareket

Araçların viraj içindeki hareketleri çembersel harekettir. Aracı çembersel yörüngede tutan merkezcil kuvvet, tekerlekler ile yer arasındaki sürtünme kuvvetidir.

Viraj alınırken aracın yolda kalabilmesi için sürtünme kuvvetinin büyüklüğünün merkezcil kuvvete eşit olması gerekir.

Aracın hızı v, kütlesi m viraj yarıçapı r ve tekerlekler ile yol arasındaki sürtünme katsayısı k olduğunda,

\(F_{surtunme} = F_{merkezcil}\)
\(k.m.g = (m.v^2)/r\)
\(v = \sqrt{k.g.r}\) olmalıdır.

Aracın hızının büyüklüğü, \(\sqrt{k.g.r}\) değerine eşit ya da küçük olmalıdır. Bu değer aşıldığında araç virajda kalamaz, virajdan dışarıya doğru yönelir ve kaza meydana gelebilir.

Bu nedenle otoyollarda viraj başlangıçlarına hız limiti uyarı tabelaları yerleştirilir. Hız limitleri, mühendislik hesaplamalar ile seyehat güvenliğimiz için belirlenmiştir.

Bir aracın yatay virajı güvenle alabilmesi aracın kütlesine bağlı değildir.

Eğimli Virajda Hareket

Kış şartlarında otoyollarda zeminin ıslanması ya da buz tutması sürtünmeyi azaltır. Bu durumda virajların geçilmesi oldukça güçleşir.

Mühendisler otoyolları inşa ederken bu sorunu yollara eğim vererek çözmüşlerdir.
Yolun virajlı kısmı eğimli yapıldığında yüzey tepki kuvveti (N) ile ağırlığın bileşkesi cismin viraj içinde çembersel hareket yapmalarını sağlar.

\(N.\sin\theta = (m.v^2)/r = F\)
\(N.\cos\theta = m.g\)

Taraf tarafa oranlandığında aşağıdaki formül elde edilir.

\[\tan\theta = \frac{v^2}{g.r} \quad\to\quad v^2 = g.r.\tan\theta \]

\(v = \sqrt{g.r.\tan\theta}\)

Sürtünmesi önemsiz, eğimli viraja olması gerekenden daha büyük hızla giren araç, virajın dışına doğru, olması gerekenden küçük hızla giren araç ise virajın içine doğru kayar.

Düşey Virajda Hareket

Düşey çembersel bir yol ya da raydan aracın düşmeden hareketine devam edebilmesi için belirli bir hıza sahip olması gerekir.

Bu hız değerlerinin altındaki durumlarda araç çembersel hareketine devam edemez.

Aracın X,Y ve Z noktalarından geçerken kuvvet diyagramı şekildeki gibidir.

X noktasında: \(F_{merkezcil} = N-m.g = (m.v_x^2)/r\)
Y noktasında: \(F_{merkezcil} = N = (m.v_y^2)/r\) (Yer çekimi görmezden gelinir)
Z noktasında: \(F_{merkezcil} = N+m.g = (m.v_z^2)/r\)

Z noktasında N(tepki kuvveti)=0 olduğunda, cismin çembersel yörüngeyi tamamlaması için gerekli en küçük hız bulunur.

\[F_{merkezcil} = 0 + m.g \Rightarrow (m.v^2)/r = m.g \Rightarrow v = \sqrt{g.r} \]

Silindir İçinde Hareket

Silindir içinde düşmeden dolanan cismin hareketi yatay düzlemde düzgün çembersel harekettir.

Yüzey tepki kuvveti N, çembersel hareketi sürdüren merkezcil kuvvet olduğu gibi aynı zamanda cisim ile düşey düzlem arasındaki sürtünme kuvvetinin oluşmasını sağlar.

Düşeyde: \(f_{surtunme} = k.N = m.g\)
Yatayda: \(F_{merkezcil} = N = (m.v^2)/r\)

Aşağıdaki formül, cismin düşmeden durabilmesi için sahip olması gereken minimum hızı ifade eder.

\[v \ge \sqrt{\frac{g.r}{k}} \]

Konik Sarkaç

Tavana asılmış ipin ucundaki cismin, ip düşeyle bir açı yapacak şekilde düşey eksen etrafında düzgün çembersel hareket yapması ile oluşan düzeneğe konik sarkaç denir.

Cisme düzgün çembersel hareket yaptıran merkezcil kuvvet, ipteki gerilme kuvveti ile ağırlığın bileşkesidir.

\(T_{ip}.\sin\theta = F_{merkezcil} = (m.v^2)/r\)
\(T_{ip}.\cos\theta = m.g\)

Bu denklemler taraf tarafa toplandığında aşağıdaki formül elde edilir.

\[\tan\theta = \frac{v^2}{g.r} \]

Bu formül bize ipin düşey ile yaptığı açının nelere bağlı olduğunu söyler. Baktığımızda, hıza, yerçekimi ivmesine ve yarıçapa bağlı olduğunu görürüz. Cismin kütlesi, ipin düşeyle yaptığı açıyı değiştirmez.

\[v = \sqrt{g.r.\tan\theta} \]

Questions

Sorunun dairesel hareketin düzgün olduğunu belirtmesi gerekirdi.

K çemberin merkezine L'den daha yakındır. Birim zamanda aynı açıyı taradıklarına göre, L aracı daha hızlıdır.
\(r_K < r_L\) ve \(v_K < v_L\) dir.
Eğer düşük hızlı K aracı savrulursa, daha hızlı olan L aracı da savrulur.
Düşük hızlı olan K aracının savrulmaması, L aracının da savrulmayacağı anlamına gelmez.
L aracının savrulması, K aracının da savrulacağı manasına gelmez.

Bu konuda sayısal değil sözel sorular gelmiştir. Daha önemli sayısal konulara odaklanmalısın.

Murat ve ayşenin merkezcil kuvvetleri farklıdır.

Merkezcil ivme: \(v^2/r\) veya \(\omega^2/r\)

Cisim dönme hareketi yapıyordur.