Fonksiyonlar-2

Mathematics

Bire Bir Fonksiyon

\(f:A\to B\) fonksiyonu için tanım kümesindeki farklı her elemanı, görüntü kümesinde farklı bir elemanla eşleyen fonksiyona bire bir fonksiyon denir.

• \(f:A\to B={(a,3),(b,4),(c,1)}\) fonksiyonu bir bire bir fonksiyondur.
• \(f:A\to B={(a,2),(b,3),(c,3)}\) fonksiyonu ise bire bir değildir.

\(f:A\to B\) tanımlı f fonksiyonu bire bir ise,

• \(\forall x_1,x_2 \in A\) için \(x_1\ne x_2\) iken \(f(x_1)\ne f(x_2)\) olmalıdır.
• \(f(x_1)=f(x_2)\) ise \(x_1=x_2\) olmalıdır.

Paraboller bire bir fonksiyonlar değildir.

---

\(s(A)=m\) ve \(s(B)=n\), \((m\le n)\) olmak üzere, \(f:A\to B\) tanımlanabilecek bire bire bir fonksiyon sayısı

\[P(n,m)=\frac{n!}{(n-m)!} \]

Permitasyonu ile bulunur.

\((m\le n)\) olmasının sebebi, bir fonksiyonun bire bir olabilmesi için tanım kümesindeki eleman sayısının değer kümesindeki eleman sayısından ya küçük ya da eşit olması gerekmesidir. Eğer değer kümesindeki eleman sayısı daha az ise, tanım kümesindeki birden fazla değer aynı değerlerle eşleşmek zorunda kalır.

---

Grafiği verilen \(y=f(x)\) fonksiyonunda, x eksenine herhangi bir noktada paralel doğrular çizildiğinde bu doğrular fonksiyonun grafiğini birden fazla noktada kesiyorsa bu fonksiyon 1-1 değildir.

Yukarıdaki şekilde f(x) fonksiyonu bire bir değil iken g(x) fonksiyonu bire birdir.

Örten ve İçine Fonksiyon

Değer kümesinde boşta eleman kalmıyorsa, yani görüntü kümesi değer kümesine eşitse, bu fonksiyona örten fonksiyon denir.

Örten olayan fonksiyonlara ise içine fonksiyon denir.

• \(f:N\to Z^+, f(x)=x+1\) fonksiyonu örten bir fonksiyondur. Çünkü 0'dan sonsuza tüm doğal sayılar için, \(Z^+\) kümesinde boşta eleman kalmaz.
• \(f:Z\to Z, f(x)=3x-1\) fonksiyonu ise örten bir fonksiyon değildir. \(f(1)=2\) ve \(f(2)=5\) tir. Aradaki tam sayıların ise x sadece bir tam sayı olabileceği için elde edilebilmesi mümkün değildir.
• \(f:R\to Z, f(x)=5x-3\) fonksiyonu örten bir fonksiyondur. Çünkü x bir reel sayı olduğu için herhangi bir değeri alabilir ve görüntü kümesinde tüm tam sayılar elde edilebilir.
• \(f:R\to R, f(x)=x^2+3x\) fonksiyonu örten bir fonksiyon değildir. Çünkü \(x^2+3x\) ifadesi bir parabol belirtir ve parabolün tepe noktasının altında kalan değerler hiçbir reel sayı ile elde edilemez.

---

\(f:A\to B\) fonksiyonu örten ise \(s(A)\ge s(B)\) dir. Çünkü A'daki değerlerin B'deki değerlerin tamamını örtebilmesi için ya eşit ya da daha fazla değere ihtiyacı vardır.

Sabit Fonksiyon

\(f:A\to B\) fonksiyonu A kümesinin tüm elemanlarını B kümesinin yalnız bir elemanına eşliyorsa f fonksiyonuna sabit fonksiyon denir.

• f sabit fonksiyonu, c sabit bir sayı olmak üzere \(f(x)=c\) ile gösterilir. Sabit fonksiyonda değişken bulunmaz.

---

\(f:A\to B\) tanımlı sabit fonksiyon ve fonksiyonun denklemi aşağıdaki gibi ise,

\[f(x)=\frac{ax+b}{cx+d} \]

Aynı dereceden değişkenlerin önlerindeki katsayıların oranları birbirine eşit olmak zorundadır. Yukarıdaki denklemde ise bu \(a/c = b/d\) şeklinde ifade edilir.

Birim Fonksiyon

Tanım kümesindeki her elemanı kendisi ile eşleyen \((f(x)=x)\) fonksiyona birim fonksiyon denir.

• f birim fonksiyon ise \(I(x)\) ile gösterilir.

Birim fonksiyonların grafikleri doğrusaldır, 1. açıortay doğrusunu oluşturur ve x ile y ekseni arasında kalan bölgeyi iki eş açıya ayırır.

Doğrusal Fonksiyon

\(f:R\to R\) olmak üzere \(f(x)=ax+b\) biçimindeki fonksiyona doğrusal fonksiyon denir.

Fonksiyonun eksenleri kestiği noktaları bulmak için denklemde sırasıyla x ve y 0'a eşitlenir.

• \(0=ax+b\) ve \(y=a0+b\)

\(f(x)=ax+b\) fonksiyon grafiğinin eksenleri kestiği noktalar belli ise; a, fonksiyonun eğimi ve b de fonksiyonun y eksenini kestiği noktaya eşittir.

Çift Fonksiyon

\(f:A\to B\)'ye f fonksiyonu verilsin.

Her \(x\inA\) için \(f(-x)=f(x)\) ise f fonksiyonuna çift fonksiyon denir.

• Çift fonksiyonların grafiği y eksenine göre simetriktir. \(f(x)=x^2\) fonksiyonu çift fonksiyonlara örnektir.

Çift fonksiyonların kuralında tek dereceli terim bulunmaz.

Tek Fonksiyon

\(f:A\to B\)'ye f fonksiyonu verilsin.

Her \(x\in A\) için \(f(-x)=-f(x)\) ise f fonksiyonuna tek fonksiyon denir.

Tek fonksiyonların grafiği orijine göre simetriktir. \(f(x)=x^3\) fonksiyonu tek fonksiyonlara örnektir.

Tek fonksiyonların kuralında çift dereceli terim bulunmaz. Eğer hem çift hem de tek dereceli terimler bulunuyorsa fonksiyon ne çift ne tektir.

Parçalı Fonksiyon

Tanım kümesinin alt aralıklarından farklı kurallar ile tanımlanan fonksiyonlara parçalı fonksiyon denir.

f,[a,b] aralığında tanımlı ve \(k\in [a,b]\) ise,

\[f(x)= \begin{cases} h(x), & a \le x \le k \\ g(x), & k < x \le b \end{cases} \]

Eğer f(x) fonksiyonunda x, a ile k aralığında ise h(x) fonksiyonu, k ile b aralığında ise g(x) fonksiyonu kullanılır.

Questions

---

\(f: R\to R\)'ye tanımlı

\(f(x)=(a-3)x^2+2x+a-4\) fonksiyonu bire bir olduğuna göre \(f(a)\) değeri kaçtır?

Çözüm

• İki değerin birbirine aynı çıkmasına neden olabilecek tek kısım \((a-3)x^2\) dir. \(x^2\) ifadesi fonksiyonun bir parabol belirtmesine sebep olur, bu sebeple onu ortadan kaldırmamız gerekir. Bu da \(a=3\) olduğunda sağlanır.
• Yani fonksiyon \(2x-1\)'e eşittir.
• \(f(3)=2.3-1=5\) olarak bulunur.

---

\(A=\{a,b,c,d\}\), \(B=\{1,2,3,4,5\}\) olmak üzere,

A'dan B'ye tanımlanabilecek bire bir fonksiyon sayısı kaçtır?

Çözüm

• \(s(A)=4\), \(s(B)=5\)
• \(P(5,4)=5!/(5-4)!\)
• \(=120/1=120\)

---

• A kümesindeki a elemanı B kümesindeki 5 tane elemandan biri ile eşleşebilir alabilir.
• b elemanı, a elemanı 5 tane değerden birini aldığı için kalan 4 değerden biri ile eşleşebilir.
• c elemanı kalan 3 değerden biri ile,
• d elemanı ise kalan 2 değerden biri ile eşleşebilir.
• 5.4.3.2=120 bulunur.

---

\(s(A)=n-2\) ve \(s(B)=4n-20\) olmak üzere,

A'dan B'ye tanımlanabilen bire bir fonksiyon sayısı en az kaçtır?

Çözüm

• Tanımlanabilen fonksiyon sayısının en az olabilmesi için n'nin değerinin minimum olması gerekir.
• \(s(B)\ge s(A)\) olması gerektiğinden n nin alabileceği en küçük değer \(n-2\le 4n-20\)'den 6 olarak bulunur.
• \(s(A)=4\) ve \(s(B)=4\) olur.
• 4.3.2.1'den cevap 24 tür.

---

• \(A=\{-2,0,a,3\}\)
• \(B=\{b,2,c,26\}\)

\(f:A\to B\) tanımlı, \(f(x)=3x^2-1\) fonksiyonu örten olduğuna göre \(a+b+c\) toplamı en az kaçtır?

Çözüm

• A'daki değerleri fonksiyona yazdığımızda, -2 ile 11, 0 ile -1 ve 3 ile 26 eşleşir.
• 11 ve -1 B'de olmadığından b ve c'nin değerleri 11 ve -1 olmalıdır.
• Geriye kalan 2 ise a ile eşleşmelidir. \(3a^2-1=2\) den, a=1 veya a=-1 bulunur. Alınabilecek en küçük değer istendiği için a=-1 alınır.
• a+b+c=11-1-1=9 bulunur.

---

\(f: A\to (-1,7]\) olmak üzere, \(f(x)=x^2-2\) fonksiyonu bire bir ve örten bir fonksiyondur.

Buna göre A kümesi;

1. [1,3]
2. [-3,1)
3. (1,3]

Kümelerinden hangisi olabilir?

Çözüm

• f(x) kümesinin aralığı \(-1 < x^2-2 \le 7\) dir.
• \( 1 < x^2 \le 9\) dan \(1 < x \le 3\) (1,3] ve \(-3\le x < -1\) [-3,-1) bulunur.
• [1,3] veya [-3,1) olursa fonksiyon bire bir olmaz, s(A) daha büyük olur ve A kümesindeki birden fazla değer aynı değerlerle eşleşir.
• Cevap yalnız 3'tür.

---

\(f(x)=(a+3)x^2-(b-2)x+a.b+5\) fonksiyonu sabit bir fonksiyon olduğuna göre, f(2025) değeri kaçtır?

Çözüm

• Sabit fonksiyonda değişken olamayacağı için a=-3, b=2 olması gerekir.
• \(f(x)=-1\) ve \(f(2025)=-1\) olur.

---

\(f:R\to Z\) tanımlı sabit fonksiyon olmak üzere,

\(2.f^2(1)-3.f(-1)-2=0\) olduğuna göre, f(5) değeri kaçtır?

Çözüm

• f(x)'in içine ne yazılırsa yazılsın değeri değişmeyeceği için onu a olarak kabul edelim.
• \(2a^2-3a-2=0\)
• Çarpanlara ayırma yaptığımızda \((2a+1)(a-2)=0\) bulunur.
• a'nın değeri 1/2 veya 2 olabilir. Fakat f(x)'in değeri Z yani tam sayı olmak zorunda olduğu için \(a=f(x)=2\) bulunur.
• \(f(5)=2\)

---

f birim fonksiyon olmak üzere,

\(f(3x+5)=(m+1)x-m+n\) olduğuna göre m.n kaçtır?

Çözüm

• Birim fonksiyonlarda \(f(...)\) içindeki değer eşitliğin karşısındaki değere eşit olmalıdır.
• \(3x+5=(m+1)x-m+n\)
• \(m=2\), \(n=7\) ve \(m.n=14\) olarak bulunur.

---

f doğrusal fonksiyon olmak üzere,

\(f(-2)=-11\) ve \(f(1)=1\) ise, \(f(9)\) kaçtır?

Çözüm

• Cevabı bulmak için x ve y yerine bilinen değerler yazılarak \(f(x)=ax+b\) deki a ve b değerleri bulunur.
• \(-11=-2a+b\) ve \(1=a+b\)
• Taraf tarafa toplama yapıldığında a=4, b=-3 bulunur.
• \(f(9)=33\)

---

f doğrusal fonksiyon ve \(f(x)+f(x+3)=-4x\) olduğuna göre \(f(-2)\) değeri kaçtır?

Çözüm

• f(x) doğrusal olduğuna göre denklemi \(ax+b\) dir.
• \(ax+b+a(x+3)+b=-4x\)
• \(2ax+3a+2b=-4x\) bulunur.
• Aynı dereceli terimlerin katsayıları birbirine eşittir.
• \(a=-2\) ve \(b=3\) olarak bulunur.
• Fonksiyonun denklemi \(f(x)=-2x+3\) olarak elde edilir.
• \(f(-2)=-2.-2+3=7\)

---

f fonksiyonu tek fonksiyondur.

\(f(x)-x^3=3f(-x)+x\) olduğuna göre, \(f(-3)\) değeri kaçtır?

Çözüm

• Denklem düzenlendiğinde \(f(x)-3f(-x)=x^3+x\) elde edilir.
• Tek fonksiyonlarda \(-f(x)=f(-x)\) olduğundan \(4f(x)=x^3+x\) olur.
• \(f(x)=(x^3+x)/4\) den \(f(-3)=-30/4=-15/2\) elde edilir.

---

\(f:R\to R\) olmak üzere,

\[f(x)= \begin{cases} x^2+5, & x < 3 \\ x-1, & x \ge b \end{cases} \]

Olduğuna göre f(x-2) fonksiyonunun kuralını bulunuz.

Çözüm

• Kuralı bulmak için denklemde x yerine x-2 yazılır ve aşağıdaki eşitlik bulunur.

\[f(x-2)= \begin{cases} (x-2)^2+5, & x < 5 \\ x-3, & x \ge 5 \end{cases} \]

---

\(A=\{-3,-2,-1\}\) ve \(B=\{4,5,6,7\}\) kümeleri veriliyor.

Buna göre her \(a\in A\) için, \(a+f(x)>3\) koşulunu sağlayan kaç tane \(f:A\to B\) fonksiyonu tanımlanabilir.

Çözüm

• -3 sadece 7 ile eşleşebilir (1)
• -2 sadece 6 ve 7 ile eşleşebilir (2)
• -1 sadece 5,6 ve 7 ile eşleşebilir (3)
• 1.2.3=6