Genel Çekim ve Kepler Yasaları
Cisimlerin kütlelerinden dolayı birbirine uyguladıkları çekim kuvvetine kütle çekim kuvveti denir. Evrendeki dört temel kuvvetten biridir ve yalnızca çekme şeklinde etkisini gösterir.
\[F = G.\frac{m_1.m_2}{d^2} \]
- (G, evrensel çekim sabitidir ve \(6,67.10^{-11} Nm^2/kh^2\) dir.)
İki cisim arasındaki kütle çekim kuvveti ve zıt yönlüdür. \(\vec{F}_1 = -\vec{F}_2\)
Atmosferin ve yeryüzündeki suların uzaya savrulmamasını sağlayan Dünya'nın kütle çekim kuvvetidir. Dört temel kuvvetten şiddeti en az olmasına rağmen galaksi, yıldız, gezegen ve uydularının hareketlerinde etkili olan kuvvet kütle çekim kuvvetidir.
Gezegen ve Uyduların Hareketi
Bir yıldız çevresinde dolanan gezegen ya da bir gezegen çevresinde dolanan uyduya yörüngesel hareket yaptıran, merkezcil kuvvet kütle çekim kuvvetidir.
Merkezcil kuvvetin tork oluşturmaması nedeni ile yörüngelerinde dolanan gök cisimlerinin açısal momentumu korunur.
Haberleşme ya da gözlem amaçlı yapay uydular da Dünya'nın çekim kuvveti etkisinde çembersel hareket yaparlar.
Uyduların Hızı
Dünya'nın merkezinden d uzaklıkta dolanan bir uydunun hızı, merkezcil kuvvetin kütle çekim kuvvetine eşitlenmesi ile aşağıdaki gibi elde edilir. (M: Dünya'nın kütlesi, d dünya ile uydu arasındaki uzaklıktır.)
\[v = \sqrt{G.\frac{M}{d}} \]
Proof
- Dünyanın kütleçekim kuvveti = Merkezcil kuvvet
- \(F_{kut}=F_{mer}\)
- \(G.[(m_{dunya}.m_{uydu})/r^2] = m_{uydu}.v_{uydu}^2/r\)
Yer Çekimi İvmesi
Kütlesi olan her cisim, çevresindeki diğer cisimlere kütle çekim kuvveti uygular.
Cisimlerin çevrelerindeki diğer cisimlere çekme etkisi gösterdikleri bu etki alanına kütle çekim alanı denir.
- Yönü daima cisimlerin kütle merkezine doğrudur.
Kütlesi M ve yarıçapı r olan bir gezegenin yüzeyindeki bir cisme uyguladığı ağırlık kuvveti, kütle çekim kuvvetine eşitlendiğinde, gezegenin yüzeyindeki yer çekimi ivmesi aşağıdaki gibi olur.
\[m.g = G.\frac{M.m}{r^2} \]
- \(g = G.M/r^2\)
Vektörel bir büyüklük olan yer çekimi ivmesi g sembolü ile gösterilir ve gezegenin yüzeyinde maksimum değerdedir.
Dünyanın merkeze olan uzaklığı ekvatorda kutuplara göre daha fazladır. Bu yüzden ekvatorda yer çekimi ivmesi kutuplara göre daha azdır.
\(g=G.M/r^2\) formülü gezegenin yüzeyi ve dışarısı için geçerlidir. Gezegenin merkezinden yüzeye kadar olan alanda, eğer gezegen düzgün bir küre olarak düşünülüp (\((4/3).\pi.r^3\)) kütlesi yerine özkütle x hacim yazıldığında aşağıdaki formül elde edilir.
- \(g = [G.d.(4/3).\pi.r^3] / r^2\)
- \(k = G.4/3.\pi\) olsun.
- \(g = k.d.r\)
Ağırlık olarak tanımladığımız kuvvet, Dünya'nın cisimlere uyguladığı kütle çekim kuvvetidir.
Gezegenin yüzeyinden dışarıya doğru gidildikçe yer çekimi ivmesinin değeri uzaklığının karesiyle ters orantılı olarak azalır. Gezegenin merkezinden d kadar uzakta olan bir P noktasındaki yer çekimi ivmesi \(g = G.M/d^2\) bağıntısıyla hesaplanır.
Gezegenin yüzeyinden içeriye doğru gidildikçe yer çekimi ivmesinin değeri uzaklıkla doğru orantılı olarak azalır. Şekildeki gibi gezegenin merkezinden x kadar uzakta olan bir P noktasındaki yer çekimi ivmesi \(g = k.d.x\) bağıntısıyla hesaplanır.
Buna göre bir gezegenin yüzeyindeki, dışındaki ve içindeki noktalarda yer çekimi ivmesinin uzaklığa bağlı değişim grafiği şekildeki gibi çizilmektedir.
Kütle Çekim Potansiyel Enerjisi
m kütleli bir cisim M kütleli bir cisimden uzaklaştırıldığında iş yapılarak enerji harcanır. İki cisimden oluşan sistemde potansiyel enerji olarak depolanan bu enerjiye kütle çekim potansiyel enerjisi denir.
Cisimler arasındaki uzaklık sonsuz olduğunda kütle çekim potansiyel enerjisi sıfır olur.
\[U = -G.\frac{M.m}{d} \]
- U: Kürle çekim potansiyel enerjisi.
- Negatif işaretinin sebebi, mesafe arttıkça potansiyel enerjinin artmasıdır. Negatif bir sayının değerinin küçülmesi artış anlamına gelir.
Yeryüzünden yükseltilen cisimlerin çekim potansiyel enerjisinin artması gibi aralarındaki uzaklık artan cisimlerin kütle çekim potansiyel enerjileri artar.
Dünya çevresinde dolanmakta olan bir uydunun hem çizgisel hızından dolayı kinetik enerjisi hem de yüksekliğinden dolayı kütle çekim potansiyeli vardır. Bu enerjilerin toplamına uydunun toplam enerjisi denir.
Bir uydunun potansiyel ve kinetik enerjilerinin toplamı formülü aşağıdaki gibidir.
\[U_{toplam} = -G.\frac{M.m}{2d} \]
Bağlanma Enerjisi
\(m\) kütleli bir uydunun, \(M\) kütleli bir gezegen çevresinde \(d\) yarıçaplı bir yörüngede hareket ederken sahip olduğu toplam enerjiye (potansiyel + kinetik) bağlanma enerjisi denir.
Başka bir ifadeyle; uyduyu bulunduğu yörüngeden çıkarıp sonsuza götürmek (sistemden koparmak) için sisteme verilmesi gereken minimum enerji miktarıdır.
- Uydu yörüngedeyken kütle çekimi nedeniyle toplam enerjisi negatiftir (\(E_{toplam} < 0\)). Bu negatiflik, uydunun gezegene "bağlı" olduğunu gösterir.
- Bağlanma Enerjisi bu negatif değeri sıfırlayan pozitif değerdir. Yani \(E_{bağlanma} = |E_{toplam}|\) formülü ile ifade edilir.
\[U_{baglanma} = G.\frac{M.m}{2d} \]
Kurtulma Enerjisi ve Kurtulma Hızı
Başlangıçta durgun olan Dünya yüzeyindeki m kütle bir uyduyu dünyanın çekim etkisinden kurtarmak için uyduya verilmesi gereken minimum enerjiye kurtulma enerjisi denir ve cismin bulunduğu noktadaki kütle çekim potansiyel enerjisi kadardır.
\[U_{kurtulma} = G.\frac{M.m}{d} \]
Uyduya kurtulma enerjisi kadar kinetik enerji kazandıran hıza kurtulma hızı denir.
- Kinetik enerjiyi kurtulma enerjisine eşitleyerek kurtulma hızını buluruz.
\[v_{kurtulma} = \sqrt{\frac{2.G.M}{R}} \]
Bir uydunun yörüngeye oturtulması için gerekli kurtulma hızı uydunun kütlesine bağlı değildir.
Dünya için kurtulma hızı 11,2 km/s dir. Bu da yaklaşık 40000km/h dir ve oldukça büyük bir sürattir. Bu nedenle uzay araçları kalkış için çok büyük miktarda yakıta ihtiyaç duyar.
Kepler Kanunları
Kepler 17. yüzyılda, gezegenlerin eliptik yörüngelerde döndüğünü söyleyerek büyük bir bilimsel devrime katkı sağlamıştır.
Yörüngenin elips olması nedeni ile güneşe olan uzaklık sabit değildir. Yarıçap vektörü eşit sürede eşit alan tarandığında göre, gezegenin çizgisel hızının büyüklüğü sürekli değişir. Gezegen güneşe yaklaşırken çizgisel hızının büyüklüğü artar, güneşten uzaklaşırken azalır.
Yörüngeler Kanunu
Gezegenlerin Güneş etrafında yörüngeleri elips şeklindedir. Elipsin iki merkezi vardır ve elips şeklindeki yörüngenin merkezlerinden birinde Güneş bulunur.
Alanlar Kanunu
Gezegeni Güneş'e birleştiren yarıçap vektörü eşit zamanda eşit alan tarar. Bu durum açısal momentumun korunumunun bir sonucudur.
Periyotlar Kanunu
Güneş etrafındaki dolanımları sırasında gezegenlerin ortalama yörünge yarıçaplarının küpünün, dolanma periyotlarının karesine oranı daima sabittir.
Güneş etrafında dolanan şekildeki X ve Y gezegenlerinin ortalama yarıçapları \(R_X\), \(R_Y\); Güneş etrafındaki periyotları \(T_X\), \(T_Y\) ise, bunlar arasındaki bağıntı aşağıdaki gibidir.
\[\frac{R_X^3}{T_X^2} = \frac{R_Y^3}{T_Y^2} \]
Cisim güneşten ne kadar uzaktaysa periyodu (güneş etrafında dönme süresi) de o kadar fazladır.
Gezegenin yörüngesinin ortalama yarıçapı, Güneş'e olan uzaklığının en büyük ve en küçük değerlerinin aritmetik ortalamasıdır.
Questions
- Yüzeydeki yer çekimi \(G.M/4r^2 = g\) olsun.
- Yüzeyde yer çekimi maksimumdur.Yüzeyle merkez arasında yer çekimi ivmesi orantılı olarak azaldığından L'de ivme g ise, K'da g/2 dir.
- M noktasında yer çekimi \(G.M/16r^2\) dir ve bu da g/4'e eşittir.
- Momentumun korunumu sebebiyle elips yörüngedeki gezegenler eşit zamanda eşit alan tarar.
- Açısal momentum, sistemin dışından bir tork uygulanmadığı sürece korunur.
