Kombinasyon-2

Geometrik Kombinasyon-1

Elimizde herhangi üçü doğrusal olmayan n adet nokta olsun. (Eğer üçü doğrusal ise aynı doğru iki farklı noktayı kullanılarak oluşturulabilir. (İstediğimiz bir şey değil) Ve Örneğin üçünün birleşimiyle bir üçgen oluşturulamaz.)

Doğru

Öklid geometrisinde bir doğru çizmek için en az 2 nokta gereklidir. Eğer elimizde herhangi üçü doğrusal olmayan n tane farklı nokta varsa, bu noktalarla \(n\choose 2\) kadar doğru çizilebilir.

Üçgen

Bu n kadar noktayı kullanarak \(n\choose 3\) tane farklı üçgen çizilebilir.

Dörtgen

Bu n kadar noktayı kullanarak \(n\choose 4\) tane farklı dörtgen çizilebilir.

Altıgen

Bu n kadar noktayı kullanarak \(n\choose 6\) tane farklı altıgen çizilebilir.

Geometrik Kombinasyon-2

Herhangi iki doğru en fazla \({2\choose 2}=1\) noktada kesişir.
Herhangi üç doğru en fazla \(3\choose 2\) farklı noktada kesişir.
Herhangi n adet doğru, en fazla, \(n\choose 2\) farklı noktada kesişir.

Questions

Easy

Moderate

İkinci yöntem olarak önce bu noktaların herhangi üçü doğrusal değilmiş gibi düşünülüp bu noktalarla oluşturulabilecek maksimum üçgen sayısı bulunur: \({9\choose 3} = 84\)
Ardından herhangi üç noktanın aynı doğru üzerinde olduğu durumlar bu tüm durumlardan çıkartılır.
\({4\choose 3}=4\) ve \({5\choose 3}=10\)
84-14=70

C noktası ortak noktadır ve diğer ikisi bir doğru üzerindeyken tepe noktası da C noktasında olduğunda üçgen değil doğru oluşur.
Soruyu çözmek için önce C noktası yokmuş gibi davranılır.
d1 doğrusunda tepe noktası alındığında \({4\choose 2}.{3\choose 1}=18\) kadar üçgen çizilebilir.
d2 doğrusunda tepe noktası alındığında \({4\choose 1}.{3\choose 2}=12\) kadar üçgen çizilebilir.
Bunların yanına bir de C noktasının kesin olarak seçildiği ihtimal de eklenir. C noktası varken diğer iki noktanın her biri iki ayrı doğrulardan seçilmelidir.
\({1\choose 1}.{4\choose 1}.{3\choose 1}=12\)
Hepsi toplandığında sonuç 12+12+18=42 olarak bulunur.

İkinci bir yöntem olarak:

Önce herhangi üç farklı noktanın birleşiminin kombinasyonu bulunur. \({8\choose 3}=56\)
Ardından herhangi üç noktanın aynı doğru üzerinde olduğu durumlar bundan çıkartılır.
\(56-({5\choose 3}+{4\choose 3})=42\)

Bu soruyu çözmek için önce hiçbiri paralel değilmiş olarak farz edilir ve en çok kaç farklı noktada kesileceği bulunur. \({10\choose 2}=45\)
Ardından fazla sayılan 6 paralel doğrunun kesişme durumları bundan çıkartılır ve cevap \(45-{6\choose 2}=30\) olarak bulunur.

7 farklı doğru, verilen koşullar görmezden gelindiğinde en çok \({7\choose 2} = 21\) noktada kesişir.
4 tane doğru A noktasında kesiştiği için \({4\choose 2}-1=5\) tane kesişim fazla sayılmıştır. (Normalde 6 noktada kesişmeleri gerekir fakat 1 noktada kesişmişlerdir bu yüzden 6-1 fazla kesişim sayılmıştır.)
3 tane doğru B noktasında kesiştiği için \({3\choose 2}-1=2\) tane kesişim fazla sayılmıştır.
Cevap 21-7'den 14 olarak bulunur.

Dikdörtgen oluşturmak için iki yatay doğru, iki dikey doğru gerekir.
Şekilde 4 adet yatay doğru vardır. Bunlardan herhangi ikisini \({4\choose 2}=6\) farklı şekilde seçebiliriz.
Aynı şekilde dikey doğruları da \({5\choose 2}=10\) farklı şekilde seçebiliriz.
Toplamda bu doğruları \({4\choose 2}.{5\choose 2}=60\) farklı şekilde seçebiliriz.

Kare oluşturmak için birbirlerine uzaklıkları aynı olan iki yatay ve iki dikey doğru gerekir.

Hard

Bu soruyu tekrar çöz.
n kulüp sayısı ve 60 öğrenci sayısı olmak üzere;
\({n\choose 2} < 60\) olmalıdır. Klüp sayısının 2'li kombinasyonları (kaç tane birbirinden farklı 2'li gruplar halinde klüp kombinasyonu seçilebileceği) 60'a eşit veya 60'dan fazla olursa, her öğrenciye farklı klüp kombinasyonları düşebileceği ve her öğrencinin diğer öğrencilerle aynı olmayan 2li klüp grupları seçebileceği manasına gelir.
Bu bağlamda \({n\choose 3}\ge 60\) olmalıdır.

Önce ortak olan hücreler boyanmadığında ortaya çıkan desenlerin miktarı hesaplanır. \({3\choose 3}.{3\choose 2}=3\)
Ardından ortak hücrelerden üsttekinin boyandığı durumda ortaya çıkan desenlerin miktarı hesaplanır. \({3\choose 2}.{3\choose 1}=9\)
Ardından ortak hücrelerden alttakinin boyandığı durumda ortaya çıkan desenlerin miktarı hesaplanır. \({3\choose 2}.{3\choose 1}=9\)
Ardından ortak hücrelerden her ikisinin de boyandığı durumda ortaya çıkan desenlerin miktarı hesaplanır. \({3\choose 1}.{3\choose 0}=3\)
Bunlar toplandığında cevap 3+9+9+3=24 olarak bulunur.