Kümeler-1

İyi tanımlanmış nesneler topluluğuna küme denir.

Kümeler büyük harflerle isimlendirilir (A,B,C,...)
Kümeyi oluşturan nesnelerin her birine eleman denir.
Kümelerde bir eleman bir defa yazılır ve elemanların sırasının bir önemi yoktur.
Bir a elemanı A kümesine ait ise \(a\in A\), ait değil ise \(a\notin A\) şeklinde gösterilir.
Bir A kümesinin eleman sayısı \(s(A)\) ile gösterilir.

\(A=\{1,2,3\}\) kümesinde \(\{3\}\in A\) ifadesi yanlıştır. A kümesinde \(\{3\}\) şeklinde bir eleman yoktur. 3 elemanı \(3\in A\) şeklinde gösterilmelidir.

Kümelerin Gösterilişi

Liste Yöntemi

Kümeyi oluşturan elemanlar {} içine aralarına virgül konularak yazılır.

Örneğin: \(A=\{1,2,3,4,5\}\)

Ortak Özellik Yöntemi

Kümeyi oluşturan elemanların ortak özelliklerinin belirtildiği yöntemdir.

Örneğin: \(A=\{x|0 \le x \le 5, x\in Z\}\)

"|" işareti "öyle ki" anlamına gelir.

Venn Şeması Yöntemi

Kümeyi oluşturan elemanların kapalı bir geometrik şekil içinde gösterilmesidir.

Kümeler Tipleri

Sonlu Küme

Eleman sayısı bir doğal sayı ile ifade edilebilen kümeye sonlu küme denir.

Sonsuz Küme

Eleman sayısı bir doğal sayı ile ifade edilemeyen kümeye sonsuz küme denir.

Boş Küme

Elemanı olmayan kümeye boş küme denir.

\(A=\{\}\) veya \(A=\emptyset\) ile gösterilir.
\(A=\{\emptyset\}\) bir boş küme değildir.

Evrensel Küme

Üzerinde işlem yapılan, tüm kümeleri içinde bulunduracak şekilde seçilen kümeye evrensel küme denir. \(E\) harfi ile gösterilir.

Kümelerin Birbirlerine Göre Durumları

Eşit Kümeler

Elemanları aynı olan kümelere eşit küme denir.

\(A\) ve \(B\) eşit kümeleri \(A=B\) şeklinde gösterilir.

Denk Kümeler

Eleman sayıları aynı olan kümelere denk küme denir

\(A\) ve \(B\) denk kümeleri \(A\equiv B\) şeklinde gösterilir.

Ayrık Küme

Ortak elemanı olmayan kümelere ayrık küme denir.

Alt Küme

A kümesinin her elemanı aynı zamanda B kümesinin de elemanı ise A kümesi B kümesinin alt kümesi denir.

Alt küme "\(\subset\)" sembolü ile gösterilir.
\(A\subset B\) ifadesi "A kümesi, B kümesinin alt kümesidir" anlamına gelir.
\(B\supset A\) ifadesi "B kümesi, A kümesini kapsar" anlamına gelir.

Bir kümenin diğer kümenin alt kümesi olabilmesi için \(\{\}\) sembolü kullanılmalıdır. Örneğin: \(A=\{1,2,\{3\}\}\) ifadesinde;

\(\{1\}\subset A\) doğru bir kullanımdır.

Fakat \(1\subset A\) yanlıştır. 1, A'nın alt kümesi değil, elemanıdır.

Aynı şekilde \(\{3\}\subset A\) ifadesi yanlış bir kullanım iken,

\(\{\{3\}\}\subset A\) ifadesi doğru bir kullanımdır.

Boş küme tüm kümelerin alt kümesidir.
Her küme kendisinin bir alt kümesidir.
Eğer \(A\subset B\) ve \(B\subset A\) ise \(A=B\) dir.

\(A=\{1,2,3\}\) kümesinin alt kümeleri:

\(\{\},\{1\},\{2\},\{3\},\{1,2\},\{1,3\},\{2,3\},\{1,2,3\}\)

n elemanlı bir kümenin alt küme sayısı \(2^n\) ile bulunur.

Bir kümenin kendisi dışındaki alt kümelerine öz alt küme denir.

Öz alt küme sayısı: \(2^n-1\)

Kesişim ve Birleşim İşlemi

A ve B iki farklı küme olmak üzere,

A ve B nin sadece ortak elemanlarının oluşturduğu kümeye A ve B'nin kesişim kümesi denir ve \(A\cap B\) ile gösterilir.
A ve B nin tüm elemanlarının oluşturduğu kümeye A ve B'nin birleşim kümesi denir ve \(A\cup B\) ile gösterilir.

\(A\cap B=\{x|x\in A \land x\in B\}\)
\(A\cup B=\{x|x\in A \lor x\in B\}\)
\(s(A\cup B)=s(A)+s(B)-s(A\cap B)\)

\(B\subset A\) olduğunda;

\(A\cap B=B\)
\(A\cup B=A\)

Kesişim İşleminin Özellikleri

\(A\cap A=A\)
\(A\cap B=B\cap A\)
\(A\cap \emptyset=\emptyset\)
\(A\cap E=A\) (E evrensel küme)
\(A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)\)

Birleşim İşleminin Özellikleri

\(A\cup A=A\)
\(A\cup B=B\cup A\)
\(A\cup \emptyset=A\)
\(A\cup E=E\) (E evrensel küme)
\(A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)\)

Questions

Easy

Medium

a elemanının bulunduğu alt küme sayısı, a elemanı görmezden gelindiğindeki alt küme sayısı kadardır. Çünkü a görmezden gelindiğinde bulunan tüm alt kümelerin içine a elemanı eklenebilir.
b'nin eleman olarak bulunmadığı alt küme sayısı b görmezden gelindiğinde oluşan alt küme sayısı kadardır.
a'nın eleman olarak bulunduğu fakat b nin bulunmadığı alt küme sayısı, a ve b görmezden gelindiğinde oluşan alt küme sayısı kadardır.
a'nın ve b'nin eleman olarak bulunmadığı alt küme sayısı, a ve b görmezden gelindiğinde oluşan alt küme sayısı kadardır.
c ve d elemanlarının yalnız birinin bulunduğu küme sayısı, ikisinin de görmezden gelindiğinde bulunan küme sayısının iki katıdır.
c veya d'nin eleman olarak bulunduğu küme sayısı, c ve d görmezden gelindiğinde bulunan küme sayının 3 katıdır. Ya da tüm küme sayısından ikisinin de bulunmadığı durumun çıkarılmasıyla bulunan küme sayısıdır.