Kütle Merkezi
Bir cismin kütlesinin tamamının toplandığı kabul edilen noktaya cismin kütle merkezi denir.
Düzgün geometrik şekle sahip homojen cisimlerin kütle merkezi, cismin geometrik merkezindedir.
Ağırlık Merkezi
Kütle m iken, ağırlık m.g dir ve bir kuvvettir.
Cisimler taneciklerden oluşur. Her taneciğe bir ağırlık kuvveti etki eder ve birbirine paralel olan bu kuvvetlerin bileşkesi cismin ağırlık kuvveti, bileşke kuvvetin uygulama noktası da cismin ağırlık merkezidir.
Bir cismin kütlesi bulunduğu yere göre değişiklik göstermez. Ağırlık ise yer çekimi ivmesine bağlı olduğu için yer yüzeyinden uzaklaştıkça azalır.
- Bu nedenle görece yüksek binaların ağırlık merkezi, kütle merkezinden daha aşağıdadır. Bu binanın her noktasındaki yer çekimi ivmesinin aynı olmamasının bir sonucudur.
Düzgün Geometrik Cisimlerin Kütle Merkezi
Düzgün ve türdeş çubuğun kütle merkezi, çubuğun tam orta noktasındadır.
Düzgün ve türdeş olan kare, dikdörtgen ve paralelkenar şeklindeki levhaların kütle merkezi köşegenlerin kesişme noktasıdır.
Düzgün ve türdeş üçgen levhanın kütle merkezi, kenarortayların kesişme noktasıdır. Bu nokta kenardan 1 birim, köşelerden 2 birim uzaklıktadır.
Düzgün ve türdeş; çember, daire ve kürenin kütle merkezi, cisimlerin geometrik merkezleridir.
Türdeş silindir, dikdörtgen prizma ve küpün kütle merkezi, üst ve alt taban merkezlerini birleştiren doğrunun tam orta noktasıdır.
Parça Ekleme ve Çıkarılma Durumunda Ağırlık Merkezinin Yerinin Bulunuşu
Parça eklendiğinde her bir parçanın ağırlıkları \(G_1\) ve \(G_2\) şekildeki gibi gösterilerek ağırlık merkezi bulunur.
- \(G_1.x=G_2.y\)
R, aşağı doğru uygulanan torkların eşit olduğu dönme merkezidir.
Özdeş parçalar kullanılarak oluşturulan aşağıdaki cismin M bölümü üç katlıdır. K ve L birlikte, üç katlı M tek bir cisim gibi düşünülerek ağırlık merkezi gösterilir.
- \(2G.x = 3G.y\)
Çıkarılan bölgede oluşan boşluk, ters yönde tork etkisi oluşturması nedeni ile bu bölgedeki parçanın ağırlık vektörü yukarı yönde gösterilerek zıt yönlü paralel kuvvetlerin bileşkesi uygulaması ile ağırlık merkezinin yeri bulunur.
- \(G_1.y = G_2.(x+y)\)
Cisimden bir parça çıkarıldığında, cismin kütle merkezinin yeri çıkarılan parçanın kütle merkezine göre ters yönde yer değiştirir.
Kütle Merkezinin Koordinatları
Cisimlerin kartezyen koordinat sistemindeki konumları biliniyorsa, ortak kütle merkezinin x ve y koordinatları bulunabilir.
\[x = \frac{m_1.x_1+m_2.x_2+m_3.x_3}{m_1+m_2+m_3} \]
\[y = \frac{m_1.y_1+m_2.y_2+m_3.y_3}{m_1+m_2+m_3} \]
Basitçe ağırlıklarını da hesaba katarak koordinat sisteminde orta nokta bulma formülü kullanılır.
Ağırlık merkezi sorularında türdeş kelimesi önem arz eder. Cismin türdeş olması ağırlık merkezinin geometrik merkezinde olduğunu belirtir. Türdeş olmayan bir cismin ağırlık merkezi cismin sınırları içinde herhangi bir noktada olabilir.
Ağırlık Merkezinin Denge Durumundaki Rolü
Bir cisim ip ile asılarak denge sağlandığında ipin uzantısı daima ğaırlık merkezinden geçer.
- Bir cisim ağırlık merkezinden asılırsa asıldığı konumda dengede kalır.
Cismin bir destek üzerinde dengede kalabilmesi için destek ve ağırlık merkezi düşeyde aynı doğrultuda olmalıdır.
Dengede olan bir cisim kuvvet uygulanarak O köşesi etrafında yatırılarak bırakıldığında kuvvetin O noktasına olan torkuna göre tekrar dengeye gelir ya da devrilir.
Parça Ekleme Ya Da Çıkarmanın Kütle Merkezine ve Denge Durumuna Etkisi
Dengede olan şekildeki türdeş levhaya K parçası eklendiğinde, eklenen parça ipin uzantısının geçtiği eksene göre tork üretir ve levha 1 yönünde dönerek yeni denge durumu oluşur.
Levhanın dengesinin bozulmaması için eklenen parçanın torkunu dengelemek amacı ile A,B,C,D bölmelerinden birine özdeş bir parça ya da X,Y,Z,T bölmelerinden birine özdeş üç parça yerleştirilmelidir.
Dengede olan levhadan K parçası çıkarıldığında çıkarılan parça ipin uzantısının geçtiği eksene göre ürettiği torkta bir azalma gerçekleşir ve levha 2 yönünde dönerek yeni denge durumu oluşur.
Levhanın dengesinin bozulmaması için çıkarılan parçanın eksikliğini dengelemek amacı ile A,B,C,D bölmelerinden biri ya da X,Y,Z,T bölmelerinden herhangi üçü çıkarılmalıdır.
Üç parça yerleştirilmesinin ya da çıkarılmasının sebebi ağırlık merkezilerinin ipin düşey eksenine olan uzaklığıdır.
Questions
- Simetrik olması gibi bir kural yok. İki şeklin kütle merkezi, ok yönünün arkasında olmalıdır.
- K ve L'nin kütle merkezi a ve b arasında olmalı. Fakat kütlelerini bilmediğimiz için toplamlarının 2m olup olmadığını bilemeyiz.
- K ve L nin kütle merkezi a'ya daha yakınsa, toplamları 2m'den küçüktür, K'nın kütlesi daha fazladır.
- b'ye yakınsa, toplamları 2m'den büyüktür, L'nin kütlesi daha fazladır.
- Tam ortada ise kütleleri toplamı 2m dir.
- Bunu anlamak için tork ve kuvvetin uzaklığa bağlı tork gücünü bilmen gerekli.
- Dengeyi hesaplamak için tork noktasını herhangi bir yer seçebiliriz. \(X_O\) yu seçelim.
- Ağırlığı dengelemek için \(X_O\) noktasına x mesafe uzaklıkta 8G büyüklüğünde yukarı doğru bir kuvvet uygulanmalıdır.