Polinom Kavramı-2
Polinomlarda İşlemler
Toplama ve Çıkarma
Polinomlarda toplama işlemi yapılırken dereceleri aynı olan terimlerin katsayıları kendi aralarında toplanır.
Polinomlarda çıkarma işlemi yapılırken dereceleri aynı olan terimlerin katsayılerı kendi aralarında çıkartılır.
- \(der[P(x)] > der[Q(x)]\) ise \(der[P(x)\pm Q(x)]=der[P(x)]\) olur.
Eğer toplanıp çıkartılan polinomların dereceleri aynıysa;
- Toplandıklarında ortaya çıkan polinomun derecesi değişmez.
- Çıkarıldıklarında ortaya çıkan polinomun derecesi bu iki polinomun katsayılarına bağlıdır. Eğer derecesini belirleyen değişkenin önündeki katsayılar eşitse derecesi azalır.
Çarpma
Polinomlarda çarpma işlemi yapılırken birinci polinomun bütün elemanları ikinci polinomun bütün elemanlarıyla sırasıyla çarpılır.
- \(der[P(x).Q(x)]=der[P(x)+der[Q(x)]]\)
Bölme
Bir bölme işleminde P(x) bölünen, Q(x) bölen, B(x) bölüm ve K(x) kalan olmak üzere,
\[P(x) = Q(x).B(x) + K(x) \]
- Daima \(der[K(x)] < der[Q(x)]\) dir. Yani kalanın derecesi her zaman bölenin derecesinden küçüktür. Bölen 1. dereceden ise kalan 0. dereceden yani sabit bir sayıdır.
- \(K(x)=0\) ise, P(x) polinomu Q(x) polinomuna tam (kalansız) bölünüyor denir.
Bölüm veya böleni 0 yapan x değeri için P(x)'in bu bölümden kalanı bulunur.
Adımlar
\(P(x)=3x^5-x^3+1\) polinomunun \(x^2-1\) ile bölümünü bulunuz.
- Bölünen polinomunun ilk (en yüksek dereceli) terimini (\(3x^5\)) bölen polinomunun ilk (en yüksek dereceli terimi) terimine (\(x^2\)) böler ve sonucu (\(3x^3\)) bölüm kısmına yazarız.
- Bulunan bu sonucu (\(3x^3\)) bölen polinomu (\(x^2-1\)) ile çarparak sonucu bölünenin altına yazar ve çıkartırız. Sonuç (\(2x^3+1\))
- İlk aşamayı çıkan sonuç için tekrar uygularız (bölen polinomun en yüksek dereceli terimini çıkan sonucun en yüksek dereceli terimine böleriz). (\(2x^3/x^2=2x\)) Ve çıkan sonucu bölüme ekleriz.
- Bulunan sonucu (2x) bölenin tamamı (\(x^2-1\)) ile çarpar ve sonucu önceki işlemde bölünenden kalanın altına yazar ve ondan çıkartırız.
- Bu aşamalar, kalanın derecesi bölenden küçük oluncaya kadar devam eder
Polinomun Derecesi
P(x) ve Q(x) birer polinom, \(der[P(x)]=m\), \(der[Q(x)]=n\) ve \((m > n)\) olmak üzere;
- \(der[P(x)+Q(x)]=der[P(x)]\)
- \(der[P(x)-Q(x)]=der[P(x)]\)
- \(der[P(x).Q(x)]=der[P(x)]+der[Q(x)]\)
- \(der[P(x)/Q(x)]=der[P(x)]-der[Q(x)]\)
- \(der[P^a(x)]=der[P(x)].a\)
- \(der[P(x^a)]=der[P(x)].a\)
- \(der[P(Q(x))]=der[P(x)].der[Q(x)]\)
Polinom Denklemi Yazma
(x-a), P(x) polinomunun bir çarpanı ise P(a)=0 dır.
P(x) bir polinom olmak üzere, P(x)=0 denkleminin köklerine P(x) polinomunun sıfırları denir.
Sıfırları (a ve b) bilinen ve katsayısı c olan 2. dereceden bir polinom;
\[P(x)=c(x-a)(x-b) \]
Şeklinde yazılabilir.
Oluşturulan denklemde x değerlerinin çarpımı polinomunun derecesini sağlamalıdır.
Karmaşık sayılarda n. dereceden bir polinomun n tane kökü vardır. Reel sayılarda ise böyle bir garanti yoktur.
Questions
Easy
- Üçüncü dereceden bu polinomun karmaşık sayılarda 3 adet kökü vardır. Bu kökler \(x_1,x_2,x_3\) olsun.
- Bu çarpımların negatif olması için birinin negatif diğerinin pozitif işaretli olması gerekir.
- Polinomların grafikleri reel sayılarda süreklidir. Parçalı değillerdir.
- P(a) negatif ve P(b) pozitif ise, a ve b arasında polinomun sıfırlarından biri bulunur. Çünkü grafikte negatiften pozitife geçilirken sıfır değerinden de geçilir.
- P(x) polinomunun sıfırlarından biri 0 ile 1 aralığındadır. Diğeri 1 ve 2, sonuncusu da 2 ve 3 aralığındadır.
- P(x-2) için ise, x yerine x+2 verirsek, polinomun sıfırları 0+2(2) ile 1+2(3), 1+2(3) ile 2+2(4) ve 2+2(4) ile 3+2(5) aralığındadır.
- Kökler toplamları ise 2+3+4(9) ile 3+4+5(12) aralığındadır.
- Bu sebeple cevap (9,12) dir.
