Polinom Kavramı
n doğal sayı \((n\in N)\), \(a_1,a_2,a_3,...,a_n\) gerçek sayılar ve x değişken olmak üzere,
\[P(x)=a_0x^0+a_1x^1+a_2x^2+a_3x^3+...+a_nx^n \]
İfadesine gerçek katsayılı ve bir değişkenli polinom denir.
- Polinomlar \(P(x)\), \(Q(x)\), \(R(x)\) gibi büyük harflerle gösterilir.
\[P(x)=a_0x^0+a_1x^1+a_2x^2+a_3x^3+...+a_nx^n \]
Ifadesinde;
- Terim: x'lerin farklı kuvvetlere sahip olduğu bölümlerdir. Toplama/çıkarma işlemi ile ayrılırlar. Örneğin: \(a_2x^2\)
- Katsayı: farklı kuvvetli x değerlerinin önünde bulunan \(a\) ifadelerinin hepsi birer katsayıdır.
- Derece: x'lerin kuvvetlerinin en büyüğüdür.
- Baş Katsayı: Kuvveti en büyük olan x'in önündeki katsayıdır.
- Sabit Terim: x'in kuvvetinin 0 olduğu terimdir. \(x^0=1\) olarak kabul edilir.
Derecesi n olan bir polinom \(der[P(x)]=n\) ile gösterilir ve n. dereceden bir polinom olarak ifade edilir.
İkinci dereceden bir polinom \(ax^2+bx^c\) şeklindedir.
Sıfır Polinomu
Tüm katsayıları sıfıra eşit olan polinoma sıfır polinomu denir ve \(P(x)=0\) şeklinde ifade edilir.
- 0 polinomunun derecesi belirsizdir.
Sabit Polinom
Değişken terimi olmayan polinomdur. \(P(x)=c\) ile gösterilir. c bir reel sayıdır.
- Sabit polinomun derecesi sıfırdır. Çünkü sadece \(x_0\)'ın bulunduğu terimin katsayısı 0'dan farklıdır.
Eşit Polinomlar
Aynı dereceli terimlerin katsayıları birbirine eşit olan polinomlara eşit polinomlar denir ve \(P(x)=Q(x)\) şeklinde gösterilir.
Örneğin: \(ax^2+bx+c=px^2+ux+t\) ise \(a=p\), \(b=u\), \(c=t\) olur.
Polinom Fonksiyon
\(P(x)\) polinomu \(R\to R\) tanımlı olması durumunda bir polinom fonksiyon olarak ifade edilir.
- Polinom fonksiyonlar tüm reel sayılarda tanımlıdır.
Sabit Terim
Bir polinomun sabit terimini bulmak için x yerine 0 yazılır.
- \(P(x)\)'in sabit terimi: \(P(0)\)
- \(P(x-2)\)'nin sabit terimi: \(P(-2)\)
- \(P(3x+1)\)'in sabit terimi: \(P(1)\)
Katsayılar Toplamı
Bir polinomun katsayılar toplamını bulmak için x yerine 1 yazılır.
- \(P(x)\)'in katsayılar toplamı: \(P(1)\)
- \(P(x+5)\)'in katsayılar toplamı: \(P(6)\)
- \(P(4x-2)\)'nin katsayılar toplamı: \(P(2)\)
Çift Dereceli Terimlerin Katsayılar Toplamı
Bir P(x) polinomunun çift dereceli terimlerinin katsayıları toplamı:
\[\frac{P(1)+P(-1)}{2} \]
Proof
\(P(x)=ax^3+bx^2+cx+d\) olsun.
- \(P(1)=a+b+c+d\)
- \(P(-1)=-a+b-c+d\)
- \(P(1)+P(-1)=2b+2d\)
- \((2b+2d)/2\): Çift dereceli terimlerin katsayılar toplamı.
Tek Dereceli Terimlerin Katsayılar Toplamı
Bir P(x) polinomunun tek dereceli terimlerinin katsayılar toplamı:
\[\frac{P(1)-P(-1)}{2} \]
Proof
\(P(x)=ax^3+bx^2+cx+d\) olsun.
- \(P(1)=a+b+c+d\)
- \(P(-1)=-a+b-c+d\), \(-P(-1)=a-b+c-d\)
- \(P(1)-P(-1)=2a+2c\)
- \((2a+2c)/2\): Tek dereceli terimlerin katsayılar toplamı.
Questions
