Sembolik Mantık-2
İse Bağlacı (Koşullu Önerme)
Sembolik mantıkta ise bağlacı \(\Rightarrow\) ile gösterilir. \(p\Rightarrow q\) ifadesi, p nin doğru, q nun yanlış olduğu durum haricinde her zaman 1 dir.
\[\begin{matrix} p & \to & 1,0,1,0 \\ q & \to & 0,1,1,0 \\ p\Rightarrow q & \to & 0,1,1,1 \\ \end{matrix} \hspace{2em} \begin{matrix} p \Rightarrow p & \equiv & 1 \\ p \Rightarrow p' & \equiv & p' \\ p \Rightarrow 1 & \equiv & 1 \\ p \Rightarrow 0 & \equiv & p' \\ 1 \Rightarrow p & \equiv & p \\ 0 \Rightarrow p & \equiv & 1 \\ \end{matrix} \]
\(p\Rightarrow q\) ifadesi \(p'\lor q\) ya eşittir.
Dildeki kullanımda "ise" bağlacı, \(p\) önermesinin doğru olması durumunda \(q\) önermesinin de doğru olacağını ifade eder. Eğer \(p\) doğru değilse, \(q\) doğru da yanlış da olabilir.
Örneğin: yağmur yağdı (p) ise yerler ıslandı (p) ifadesinde yağmur yağarsa yerler ıslanır, ıslanmaması olanaksızdır. Eğer yağmur yağmazsa yerler ıslanmayabilir. Fakat başka bir faktör yerlerin ıslanmasına neden olmuş olabilir.
\(p\Rightarrow q\) önermesi için,
- Karşıtı: \(q\Rightarrow p\)
- Tersi: \(p'\Rightarrow q'\)
- Karşıt Tersi: \(q'\Rightarrow p'\)
- Olumsuzu (Değili): \((p'\lor q)'\equiv p\land q'\)
Ancak ve Ancak Bağlacı
Sembolik mantıkta "ancak ve ancak" bağlacı \(\Leftrightarrow\) ile gösterilir. \(p\Leftrightarrow q\) ifadesinin sonucu ancak iki değer de doğruysa ya da iki değer de yanlışsa 1 olur.
\[\begin{matrix} p & \to & 1,0,1,0 \\ q & \to & 0,1,1,0 \\ p\Leftrightarrow q & \to & 0,0,1,1 \\ \end{matrix} \hspace{2em} \begin{matrix} p \Leftrightarrow p & \equiv & 1 \\ p \Leftrightarrow p' & \equiv & 0 \\ p \Leftrightarrow 1 & \equiv & p \\ p \Leftrightarrow 0 & \equiv & p' \\ \end{matrix} \]
\(p \Leftrightarrow q\equiv 1\) olduğunda bu bileşik önermeye çift gerektirme denir.
Ancak ve ancak bağlacı, ise bağlacına çevrilebilir.
- \(p\Leftrightarrow q\equiv (p\Rightarrow q)\land(q\Rightarrow p)\)
Açık Önerme
İçinde en az bir değişken bulunan ve bu değişkenlere verilen değerlerle doğru ya da yanlış olduğu bilinen önermelere açık önerme denir.
- Bir \(a\) sayısı \(P(x)\) açık önermesini sağlıyorsa, \(P(a)\equiv 1\)
- Bu \(a\) sayısı \(P(x)\) açık önermesini sağlamıyorsa \(P(a)\equiv 0\) olur.
Niceleyiciler
- \(\forall\) sembolü; bütün, tamamı anlamı taşır. Evrensel niceleyicidir. Örneğin \(\forall x\in A, f(x)\) ifadesi "A kümesi içindeki tüm x sayıları f(x) fonksiyonunu sağlar." anlamına gelir.
- \(\exists\) sembolü en az bir (bazı) anlamı taşır. Varlıksal niceleyicidir. Örneğin \(\exists x \in A, f(x)\) ifadesi "A kümesindeki en az bir sayı f(x) fonksiyonunu sağlar." anlamına gelir.
Açık Önermenin Değili (Olumsuzu)
- \([\forall x,p(x)]'\equiv [\exists x,(p(x))']\)
- \([\exists x,p(x)]'\equiv [\forall x,(p(x))']\)
| Gösterim: | \(\forall\) | \(\exists\) | \(=\) | \(>\) | \(<\) | \(\ge\) | \(\le\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Değili: | \(\exists\) | \(\forall\) | \(\ne\) | \(\le\) | \(\ge\) | \(<\) | \(>\) |
Bazı Kavramlar
- Anlamı bilinen sözcükler, tanımsız terimler ve daha önce tanımlanmış terimler yardımıyla terimlerin özelliklerini belirtmeye bu terimlerin tanımı denir.
- Doğruluğu ispatsız kabul edilen önermelere aksiyom adı verilir.
- \(p\) önermesi doğru iken \(p\Rightarrow q\) önermesi de doğru ise \(p\Rightarrow q\) önermesine teorem denir.
- \(p\Rightarrow q\) bir teorem ise \(p\) önermesi bir hipotez, \(q\) önermesi ise bir teoremdir.
Questions
