Ters Trigonometrik Fonksiyonlar
Bir Fonksiyonun Tersi
\(f:A\to B\), \(f(x)=y\) fonksiyonu bire bir ve örten ise, \(f^{-1}\) de bir fonksiyon belirtir.
\[f^{-1}:B\to A, f^{-1}(y)=x \]
Trigonometrik fonksiyonlar bire bir ve örten değildir.
Trigonometrik fonksiyonların bire bir ve örten olmaları için tanım ve değer kümeleri sınırlandırılır.
Sınırlandırılmış bu aralıklarda tersi de fonksiyon olur. Bu fonksiyonlara ters trigonometrik fonksiyonlar denir.
Ters Trigonometrik Fonksiyonlar
Arkkosinüs Fonksiyonu
f(x) = cos x fonksiyonu \([0,\pi]\) aralığında (1. bölgeden 2. bölgeye) bire bir ve örtendir.
- \(f:[0,\pi]\to[1,-1]\) olmak üzere,
f(x) = cos x fonksiyonunun tersi,
- \(f^{-1}:[-1,1]\to [0,\pi]\),
\(f^{-1}(x)=cos^{-1}x\) veya \(f^{-1}(x)=arccos x\) şeklinde gösterilir.
\(cos x = y\) ise \(arccos y = x\) olur. x açısının kosinüsü y ise, kosinüsü y olan açı x dir.
Arksinüs Fonksiyonu
\(f(x)=sin x\) fonksiyonu \([-\pi/2, \pi/2]\) aralığında (4. bölgeden 1. bölgeye) bire bir ve örtendir.
\[f:[-\pi/2, \pi/2]\to [-1,1]\text{ olmak üzere,} \]
\(f(x)=sin x\) fonksiyonunun tersi,
\[f^{-1}:[-1,1]\to [-\pi/2, \pi/2] \]
Biçiminde ifade edilir ve \(f^{-1}(x)=sin^{-1}x\) veya \(f^{-1}(x)=arcsin x\) şeklinde gösterilir.
\(sin x = y\) ise \(arcsin y = x\) olur. x açısının sinüsü y ise sinüsü y olan açı x dir.
Arktanjant Fonksiyonu
\(f(x)=tan x\) fonksiyonu \((-\pi/2, \pi/2)\) aralığında (4. bölgeden 1. bölgeye) bire bir ve örtendir.
\[f:(-\pi/2, \pi/2)\to (-\infty,\infty)\text{ olmak üzere,} \]
\(f(x)=tan x\) fonksiyonunun tersi,
\[f^{-1}:(-\infty,\infty)\to (-\pi/2, \pi/2) \]
Biçiminde ifade edilir ve \(f^{-1}(x)=tan^{-1}x\) veya \(f^{-1}(x)=arctan x\) şeklinde gösterilir.
\(tan x = y\) ise \(arctan y = x\) olur. x açısının tanjantı y ise sinüsü y olan açı x dir.
Arkkotanjant Fonksiyonu
\(f(x)=cot x\) fonksiyonu \((0, \pi)\) aralığında (1. bölgeden 2. bölgeye) bire bir ve örtendir.
\[f:(0, \pi)\to (-\infty,\infty)\text{ olmak üzere,} \]
\(f(x)=cot x\) fonksiyonunun tersi,
\[f^{-1}:(-\infty,\infty)\to (0, \pi) \]
Biçiminde ifade edilir ve \(f^{-1}(x)=cot^{-1}x\) veya \(f^{-1}(x)=arccot x\) şeklinde gösterilir.
\(cot x = y\) ise \(arccot y = x\) olur. x açısının tanjantı y ise sinüsü y olan açı x dir.
Bileşke Fonksiyon
Bir fonksiyon ile tersinin bileşkesi birim fonksiyondur.
\((fof^{-1})(x)=l(x)=x\) olduğundan,
- \(cos(arccos x)=arccos(cos x) = x\)
- \(sin(arcsin x)=arcsin(sin x) = x\)
- \(tan(arctan x)=arctan(tan x) = x\) olur.
Questions
Easy
Medium
- Yanlışlıkla |DC|/|AD| oranını buldum. |AD|/|DC| değil.
