Trigonometri: Yönlü Açılar

Geometry

Pozitif Yön - Negatif Yön

• Saatin dönme yönünün tersi (sol) pozitif (+) yön,
• Saatin dönme yönü (sağ) negatif (-) yön olarak kabul edilir.

Yönlü Açılar

Bir \(\angle{AOB}\) açısında;

• [OA başlangıç kenarından [OB bitiş kenarına saat yönünün tersine gidildiğinde pozitif yönlü açı olur. \(\measuredangle{AOB} > 0\)

• [OA başlangıç kenarından [OB bitiş kenarına saat yönünde gidilirse negatif yönlü açı olur. \(\measuredangle{AOB} < 0\)

Yönlü Yaylar

Bir çember yayının ölçüsü,

• Saat yönünün tersine alınırsa pozitif yönlü,
• Saat yönünde alınırsa negatif yönlü olur.

Açı Ölçü Birimleri

Derece

Tam bir çember yayı 360 eş parçaya bölündüğünde, bu eş yaylardan birini gören merkez açının ölçüsüne 1 derece \((1\degree)\) denir.

Tam bir çember yayının ölçüsü \(360\degree\) dir.

Derecenin As Katları (Dakika, Saniye)

1 derecenin altmışta birine 1 dakika \((1')\) denir.

1 dakikanın altmışta birine ise 1 saniye \((1")\) denir.

• \(1\degree=60'=3600"\)

Radyan

r birim yarıçaplı bir çemberde, uzunluğu r birim olan çember yayını gören merkez açının ölçüsü 1 radyandır.

• \(|\overgroup{AB}|=r\) birim
• \(\measuredangle{AOB}=1 radyan\)

Tam çember yayını gören merkez açının ölçüsü \(2\pi\) radyandır.

Radyan ve Derecenin Birbirine Çevrilmesi

Tam açının ölçüsü \(360\degree=2\pi\) radyandır.

• \(\pi\text{ radyan} = 180\degree\)

Derece ve radyan açı ölçü birimleri;

\[\frac{\text{Derece}}{180\degree}=\frac{\text{Radyan}}{\pi} \]

Bağıntısı kullanılarak birbirine çevrilebilir.

Radyanı dereceye çevirmek için \(\pi\) yerine 180 derece yazılabilir.

• \(\pi/3\) radyan = 60 derecedir.
• \(5\pi/6\) radyan = 150 derecedir.
• \(3\pi/4\) radyan = 135 derecedir.
• \(3\pi/2\) radyan = 270 derecedir.

Birim Çember

Merkezi orijinde ve yarıçapı 1 birim olan çembere birim çember denir.

\(P(a,b)\) birim çember üzerinde herhangi bir nokta olsun.

OHP dik üçgeninde pisagor bağıntısından,

• \(a^2+b^2=1\) olur.

Birim Çemberde Açının Standart Konumu

Köşesi orijinde ve başlangıç kenarı pozitif x ekseni üzerinde olan açı standart konumdadır.

Şekildeki AOP açısı standart konumdadır.

Birim Çemberde Bölgeler

Standart konumdaki bir açının ölçüsü,

1. \(0\degree\) ile \(90\degree\) arasında ise açı 1. bölgededir. (+,+)
2. \(90\degree\) ile \(180\degree\) arasında ise açı 2. bölgededir. (-,+)
3. \(180\degree\) ile \(270\degree\) arasında ise açı 3. bölgededir. (-,-)
4. \(270\degree\) ile \(360\degree\) arasında ise açı 4. bölgededir. (+,-)

Esas Ölçü (Derece)

Birim çemberde, 360 derceden büyük açıların bitiş kenarı 360 dereceden küçük pozitif bir açı ile aynı yere denk gelir.

Örneğin, şekildeki gibi \(30\degree,390\degree\) ve \(750\degree\) aynı yerdedir.

• 390=30+360
• 750=30+2.360

\(390\degree\) ve \(750\degree\) nin esas ölçüsü \(30\degree\) dir.

• \(30\degree-360\degree=-330\degree\) nin esas ölçüsü de 30 derecedir.

\(k\in Z\) ve \(a\in [0\degree,360\degree)\) olmak üzere, birim çember üzerinde \(a\) açısı ile \(a+k.360\degree\) açısı aynı açıdır.

• \(0 \le a < 360\) ve \(k\in Z\) olmak üzere, ölçüsü \(a+k.360\degree\) olan açının ölçüsü \(a\) derecedir.

---

Bir açının 360 dereceye bölümünden kalan, derece cinsinden esas ölçüsüdür.

Negatif açıların mutlak değeri 360 dereceye bölünür, kalan sayı ise 360 dereceden çıkarılarak esas ölçü bulunur.

Negatif açının mutlak değeri 360 dereceden küçük ise bu değer 360 dereceden çıkarılıp esas ölçü bulunur.

Esas Ölçü (Radyan)

\(0\le a < 2\pi\) ve \(k\in Z\) olmak üzere, ölçüsü \(a+k.2\pi\) olan açının radyan cinsinden esas ölçüsü \(a\) radyandır.

• Radyan türünden verilen kesirli açıda, payı paydanın 2 katına böleriz.
• Kalan sayı paya yazılır, paydadaki sayı paydaya yazılır ve \(\pi\) ile çarpılır.
• Örneğin: \(50\pi/3\)'ün esas ölçüsünü bulmak için;
  • Önce 50, paydanın 2 katına bölünür. (50=6.8+2)
  • Ardından kalan sayı (2) paya yazılır, paydadaki asıl sayı (3) paydaya yazılır ve sonuç \(\pi\) ile çarpılır.
  • \(2\pi/3\), değeri \(50\pi/3\) ün esas ölçüsüdür.

Radyan cinsinden negatif yönlü açının esas ölçüsünü bulmak için önce verilen açının mutlak değerinin esas ölçüsü bulunur. Sonra bu değer \(2\pi\) den çıkarılır.

Questions

---

Easy

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

• Bu soru üzerine tekrar düşün.

---

---