Trigonometrik Fonksiyonlar

Geometry

Dar Açıların Trigonometrik Oranları

\[\sin{\alpha}=\frac{a}{c}=\frac{\text{Karşı}}{\text{Hipotenüs}}=\cos{\beta} \]

\[\cos{\alpha}=\frac{b}{c}=\frac{\text{Komşu}}{\text{Hipotenüs}}=\sin{\beta} \]

\[\tan{\alpha}=\frac{a}{b}=\frac{\text{Karşı}}{\text{Komşu}}=\cot{\beta} \]

\[\cot{\alpha}=\frac{b}{a}=\frac{\text{Komşu}}{\text{Karşı}}=\tan{\beta} \]

Tümler iki açı için;

Birinin sinüsü, diğerinin kosinüsüne;
Birinin tanjantı, diğerinin kotanjantına eşittir.

30, 60, 45 Derecelerin Trigonometrik Oranları

\(\sin{30}=\cos{60}=1/2\)
\(\sin{60}=\cos{30}=\sqrt{3}/2\)
\(\tan{30}=\cot{60}=1/\sqrt{3}=\sqrt{3}/3\)
\(\sin{30}=\cos{60}=\sqrt{3}\)

\(\sin{45}=\cos{cos}=\sqrt{2}/2\)
\(\tan{45}=\cot{45}=1\)

Birim Çemberde Trigonometrik Fonksiyonlar

Sinüs ve Kosinüs Fonksiyonları

x ekseni kosinüs ekseni, y ekseni sinüs ekseni olarak adlandırılır.

Yukarıdaki birim çemberlerde,

P noktasının apsisi açının kosinüs değerini,
P noktasının ordinatı açının sinüs değerini verir.

Kosinüs 1. ve 4. bölgede pozitif, 2. ve 3. bölgede negatif;
Sinüs 1. ve 2. bölgede pozitif, 3. ve 4. bölgede negatiftir.

\(\cos 0 = 1\), \(\cos 180 = -1\),
\(\sin 90 = 1\), \(\sin 270 = -1\) olur.

\(\cos 90 = \cos 270 = \sin 0 = \sin 180 = 0\) değerini alır.

Sinüs ve Kosinüs Fonksiyonları

Sinüs ve kosinüs fonksiyonları -1 ile 1 arasında değer alabilir.

\(a\) bir reel sayı olmak üzere, \(-1\le\cos{a}\le 1\) ve \(-1\le\sin{a}\le 1\) olur.

\(\cos{a}: R\to[-1,1]\)
\(\sin{a}: R\to[-1,1]\)

Özdeşlik

\[\cos^2{a}+\sin^2{a}=1 \]

\(\sin^2{a}=1-\cos^2{a}\)
\(\cos^2{a}=1-\sin^2{a}\)

Tanjant ve Kotanjant Fonksiyonları

x = 1 doğrusu tanjant ekseni y = 1 doğrusu kotanjant ekseni olarak adlandırılır.

a derecelik bir açının tanjant eksenini kestiği nokta ile oluşan üçgenin a açısına komşu kenarı 1 birimdir.

Tanjant = karşı kenar / komşu kenar olduğu için a açısının tanjantı \(|TX_{eksen}|/1\) olur. Yani tanjant eksenindeki kenarın uzunluğu a açısının tanjantına eşittir.
Ayrıca üçgende benzerlikten \(\tan{a}=\sin{a}/\cos{a}\) olarak bulunur.

\(\tan 90\) Tanımsızdır. Çünkü 90 derecelik açı tanjant eksenini kesmez.

Kotanjant = komşu kenar / karşı kenar
\(\cot{a}=\cos{a}/\sin{a}\)

\(\cot 0 = \cot 180\) tanımsızdır çünkü kotanjant eksenini kesmezler.

Açının kotanjant eksenini kestiği nokta T ve kotanjant eksenini kestiği nokta K dir.
T noktasının ordinatı açının tanjantına,
K noktasının apsisi açının kotanjantına eşittir.
Açının bitiş kenarı eksenleri kesmezse uzantısına bakılır.
Tanjant ve kotanjant fonksiyonları 1. ve 3. bölgede pozitif, 2. ve 4. bölgede negatiftir.
\(\tan{0} = \tan{180} = 0\),
\(\cot{90} = \cot{270} = 0\) olur.

Tanjant ve Kotanjant Fonksiyonları

Tanjant ve kotanjant fonksiyonları \(-\infty\) ile \(+\infty\) arasında değer alabilir.

\(-\infty < \tan{a} < \infty\) ve \(-\infty < \cot{a} < \infty\) olur.

\(\tan{a}:R - \{\pi/2 + k.\pi\}\to R\)
\(\cot. R - \{k.\pi\}\to R\)

(k bir tam sayıdır.)

Özdeşlik

Tanımlı olduğu değerler için,

\[\tan{a}=\frac{\sin{a}}{\cos{a}} \]

\[\cot{a}=\frac{\cos{a}}{\sin{a}} \]

\(\tan{a}.\cot{a}=1\) dir.

Sekant ve Kosekant Fonksiyonları

\(m(AOP)=a\) açısı birim çemberi P noktasında kesiyor.

P noktasında birim çembere teğet olan doğru x eksenini S de, y eksenini C de kesiyor.

S noktasının apsisine a açısının sekantı \((\sec{a})\)
C noktasının ordinatına a açısının kosekantı \((\cosec{a})\) denir.

\(|OS|=\sec{a}\) ve \(|OC|=\cosec{a}\) olur.

POS dik üçgeninde öklidden;

\(1^2=\cos{a}.\sec{a}\) ise, \(\sec{a}=1/\cos{a}\) olur.

POC dik üçgeninde öklidden;

\(1^2=\sin{a}.\cosec{a}\) ise, \(\cosec{a}=1/\sin{a}\) olur.

\(\sec{90}\) ve \(\sec{270}\) tanımsızdır.

\(\cosec{0}\), \(\cosec{180}\) ve \(\cosec{360}\) tanımsızdır.

Özdeşlik

Tanımlı olduğu değerler için,

\[\sec{a}=\frac{1}{\cos{a}} \]

\[\cosec{a}=\frac{1}{\sin{a}} \]

\(1+\tan^2{x}=\sec^2{x}\)
\(1+\cot^2{x}=\cosec^2{x}\)

Yukarıdaki iki denklemde tanjant ve kotanjant olan yerlere sin ve cos cinsinden özdeşlerini yazarsan neden böyle olduğunun ispatını yapmış olursun.

Trigonometrik Fonksiyonların Bölgelere Göre İşaretleri

Bölgede hepsi pozitif.
Bölgede sadece sinüs pozitif.
Bölgede tanjant ve kotanjant pozitif.
Bölgede sadece kosinüs pozitif.

İndirgeme

90 dereceden büyük açıların trigonometrik değerlerini bulmak için 90 dereceden küçük eş değerleri bulunur. Buna indirgeme denir.

İndirgeme için iki tane kural vardır.

Açının bulunduğu bölgede fonksiyonun işareti belirlenir.
Açı x eksenine göre yazılmış ise fonksiyon isim değiştirmez.
y eksenine göre yazılmış ise ismi eş fonksiyon ile değişir.

Eş fonksiyonlar: \(sin\leftrightarrow cos\), \(tan\leftrightarrow cot\), \(sec\leftrightarrow cosec\)

Örneğin: \(\sin{(90-40)}=\sin{50}=\cos{40}\)

\(a\) bir dar açının ölçüsü olmak üzere;

Bölgedeki açılar: \(a\) (x'e göre) veya \(90-a\) (y'ye göre) olarak ifade edilir.
Bölgedeki açılar: \(90+a\) (y'ye göre) veya \(180-a\) (x'e göre) olarak ifade edilir.
Bölgedeki açılar: \(180+a\) (x'e göre) veya \(270-a\) (y'ye göre) olarak ifade edilir.
Bölgedeki açılar: \(270+a\) (y'ye göre) veya \(360-a\) (x'e göre) olarak ifade edilir.