Trigonometrik Fonksiyonların Periyodu ve Grafiği

Periyodik Fonksiyonlar

Belli aralıklarla tekrarlanan fonksiyonlara periyodik fonksiyonlar denir.

\(f:A\to B\) bir fonksiyon olsun.

Her \(x\in A\) için, \(f(x+T)=f(x)\) eşitliğini sağlayan bir T reel sayısı varsa, f fonksiyonuna periyodik fonksiyon denir.

En küçük pozitif T reel sayısına f fonksiyonunun periyodu denir.

Trigonometrik Fonksiyonların Periyodu

Sinüs ve Kosinüs

Her \(x\in R\) ve \(k\in Z\) için,

\(\sin{(x+k.2\pi)}=\sin{x}\)
\(\cos{(x+k.2\pi)}=\cos{x}\) olur.

Sinüs ve kosinüs fonksiyonlarının periyodu \(2\pi\) dir.

Sekant ve kosekant fonksiyonlarının periyodu da \(2\pi\) dir.

Tanjant ve Kotanjant

Her \(x\in R-\{(\pi/2)+k.\pi\}\) için, \(\tan{(x+k.\pi)}=\tan{x}\) olur.

Her \(x\in R-\{k.\pi\}\) için, \(\cot{(x+k.\pi)}=\cot{x}\) olur.

Tanjant ve kotanjant fonksiyonlarının periyodu \(\pi\) dir.

y = a.sin^n(bx+c)+k Türündeki Fonksiyonlar

n sıfırdan farklı bir tam sayı ve a,b,c,k birer reel sayı olmak üzere,

\(y=a.\cos^n{(bx+c)}+k\)
\(y=a.\sin^n{(bx+c)}+k\)

Fonksiyonlarının periyodu,

n bir tek tam sayı ise \(2\pi/|b|\) dir.
n bir çift sayı ise \(\pi/|b|\) dir.

y = a.tan^n(bx+c)+k Türündeki Fonksiyonlar

n sıfırdan farklı bir tam sayı ve a,b,c,k birer reel sayı olmak üzere,

\(y=a.\tan^n{(bx+c)}+k\)
\(y=a.\cot^n{(bx+c)}+k\)

Fonksiyonlarının periyodu \(\pi/|b|\) dir.

f fonksiyonunun periyodu \(T_1\), g fonksiyonunun periyodu \(T_2\) olsun.

f ve g fonksiyonlarının toplamı veya farkı olan yeni fonksiyonun periyodu \(EKOK(T_1,T_2)\) olur.

Trigonometrik Fonksiyonların Grafiği

y = sin x Fonksiyonunun Grafiği

\([0,2\pi]\) aralığında \(y=\sin{x}\) fonksiyonunun grafiği aşağıdaki gibidir.

Periyod \(2\pi\) olduğundan, grafik her \(2\pi\) aralığında tekrarlanır.

y = cos x Fonksiyonunun Grafiği

\([0,2\pi]\) aralığında \(y=\cos{x}\) fonksiyonunun grafiği aşağıdaki gibidir.

Periyod \(2\pi\) olduğundan, grafik her \(2\pi\) aralığında tekrarlanır.

y = tan x Fonksiyonunun Grafiği

\((-\pi/2, \pi/2)\) aralığında \(y=\tan{x}\) fonksiyonunun grafiği aşağıdaki gibidir.

Periyod \(\pi\) olduğundan, grafik her \(pi\) aralığında tekrarlanır.

Tanjant fonksiyonu artan fonksiyondur.

y = cot x Fonksiyonunun Grafiği

\((0,\pi)\) aralığında \(y=\cot{x}\) fonksiyonunun grafiği aşağıdaki gibidir.

Periyod \(\pi\) olduğundan, grafik her \(\pi\) aralığında tekrarlanır.

Kotanjant fonksiyonu azalan fonksiyondur.

Grafik ile ilgili bir test sorusunda grafik verilip grafiğin fonksiyonu soruluyorsa, şıklardan gidilerek grafik üzerindeki bazı noktalar seçilip bu noktaları sağlayan fonksiyon bulunabilir.

Tek ve Çift Fonksiyonların Grafiği

Tek Fonksiyon

Her \(x\in R\) için \(f(-x)=-f(x)\) ise \(f(x)\) tek fonksiyondur.

Tek fonksiyonların grafiği orijine göre simetriktir.

Her \(x\in R\) için,

\(\sin{(-x)}=-\sin{x}\)
\(\tan{(-x)}=-\tan{x}\)
\(\cot{(-x)}=-\cot{x}\) olduğundan,

\(y=\sin{x}\), \(y=\tan{x}\) ve \(y=\cot{x}\) fonksiyonları tek fonksiyondur ve grafikleri orijine göre simetriktir.

Çift Fonksiyon

Her \(x\in R\) için \(f(-x)=f(x)\) ise \(f(x)\) çift fonksiyondur.

Çift fonksiyonların grafiği y eksenine göre simetriktir.

Her \(x\in R\) için,

\(\cos{(-x)}=\cos{x}\) olduğundan,

\(y=\cos{x}\) fonksiyonu çift fonksiyondur ve grafiği y eksenine göre simetriktir.

y = a.sin(bx+c)+k Türündeki Grafikler

y = a.sin x Türündeki Fonksiyonların Grafiği

\(a > 0\) olmak üzere, \(y=a.\sin{x}\) veya \(y=a.\cos{x}\) grafiklerini çizmek için,

\(y=\sin{x}\) veya \(y=\cos{x}\) grafikleri başlangıç olarak alınır.
\(a > 1\) ise grafik aşağıya ve yukarıya doğru genişletilir. \(0 < a < 1\) ise grafik aşağıdan ve yukarıdan daraltılır.

y = -a.sin x Türündeki Fonksiyonların Grafiği

\(a > 0\) olmak üzere, \(y = -a.\sin{x}\) veya \(y = -a.\cos{x}\) grafiklerini çizmek için,

\(y=sin x\) veya \(y=cos x\) grafiklerinin x eksenine göre simetriği başlangıç olarak alınır.
\(a > 1\) ise grafik aşağıya ve yukarı doğru genişletilir. \(0 < a < 1\) ise grafik aşağıdan ve yukarıdan daraltılır.

y = sin(bx) Türündeki Fonksiyonların Grafiği

\(b > 0\) için, \(y=\sin{(bx)}\) fonksiyonunda, b değeri değiştikçe fonksiyonun periyodu da değişir.

\(b > 1\) ise periyot küçülür.
\(0 < b < 1\) ise periyot büyür.

y = sin(-bx) Türündeki Fonksiyonların Grafiği

\(b > 0\) olmak üzere,

\(y = sin(-bx) = -sin(bx)\)
\(y = tan(-bx) = -tan(bx)\)
\(y = cot(-bx) = -cot(bx)\)

Olduğundan bu fonksiyonların grafikleri

\(y = sin(bx)\)
\(y = tan(bx)\)
\(y = cot(bx)\)

Fonksiyonlarının grafiklerinin x eksenine göre simetriğidir.

\(y = cos(-bx) = cos(bx)\) dir.
\(y = cos(-bx)\) ile \(y = cos(bx)\) in grafikleri aynıdır.

y = sin(x+c) Türündeki Fonksiyonların Grafiği

\(c > 0\) olmak üzere;

\(y=sin(x-c)\) nin grafiğini çizmek için,

\(y=sin x\) fonksiyonunun grafiği x ekseni doğrultusunda c birim sağa ötelenir.

\(y=sin(x+c)\) nin grafiğini çizmek için,

\(y=sin x\) fonksiyonunun grafiği x ekseni doğrultusunda c birim sola ötelenir.

y = sin x + k Türündeki Fonksiyonların Grafiği

\(k > 0\) olmak üzere;

\(y=sin x + k\) fonksiyonunun grafiğini çizmek için,

\(y=sin x\) fonksiyonunun grafiği y ekseni doğrultusunda k birim yukarıya ötelenir.

\(y=sin x - k\) fonksiyonunun grafiğini çizmek için,

\(y=sin x\) fonksiyonunun grafiği y ekseni doğrultusunda k birim aşağıya ötelenir.

\(A(x_1,y_1)\) noktası, y=f(x) grafiği üzerindeki bir nokta ise A noktasının koordinatları grafiğin denklemini sağlar.

\(y_1=f(x_1)\) yazılır.

Questions

Periyodik Fonksiyonlar

Bunu tam anlayamadım.

Trigonometrik Fonksiyonların Periyodu

Trigonometrik Fonksiyonların Grafiği

Tek ve Çift Fonksiyonlar

y = a.sin(bx+c)+k Türündeki Grafikler