Vektörler
Sayı ve birim yanında yön bilgisi ile ifade edilmesi gereken niceliklere vektörel nicelik denir.
- Vektörler bir harf ile isimlendirilir ve bu harfin üstüne küçük bir ok yerleştirilir (\(\vec{K}\) gibi.) Vektörün büyüklüğü ise üzerinde ok olmadan K şeklinde, veya \(|\vec{K}|\) şeklinde gösterilir.
Vektörler kareli bir zeminde çizim ile gösterildiklerinde, büyüklükleri ok uzunluğu ile doğru orantılıdır.
Vektörlerin Özellikleri
- Eşit Vektörler: Büyüklükleri ile birlikte yönleri de aynı olan vektörlere eşit vektörler denir.
- Zıt Vektörler: Büyüklükleri aynı, yönleri zıt olan vektörlere zıt vektörler denir. \(\vec{K}\) ve \(\vec{L}\) zıt vektörler ise, aralarında \(\vec{K}=-\vec{L}\) ve \(|\vec{K}|=|\vec{L}|\) şeklinde bir ilişki vardır.
Vektörün Skaler İle Çarpımı
- Bir vektör pozitif bir sayı ile çarpıldığında, çarpan sayı kadar boyu (büyüklüğü) değişir, yönü değişmez.
- Negatif bir sayı ile çarpıldığında ise büyüklüğü ve yönü değişir, aynı doğrultuda zıt yöne işaret eder.
Vektörlerin Kartezyen Koordinat Sisteminde Gösterimi
Dik eksenler sistemine kartezyen koordinat sistemi denir.
Bir vektör, kartezyen koordinat sisteminde gösterilirken başlangıç noktası eksenlerin kesim noktasına (orijin) yerleştirilir. Eğer vektör iki boyutlu sistemde ise vektörün uç noktasının x ve y ekseni üzerindeki izdüşüm noktaları ile vektör tanımlanır. \(\vec{A}(2,3)\) gibi. Eğer vektör üç boyutlu sistemde ise vektörün uç noktasının x, y ve z ekseni üzerindeki izdüşüm noktaları ile vektör tanımlanır. \(\vec{B}(2,4,3)\) gibi.
Vektörlerde Toplama İşlemi (Bileşke Vektör)
Vektörler ile yapılan toplama işlemi sonucunda elde edilen sonuç vektörüne bileşke vektör denir.
- Bileşke \(\vec{R}\) ile gösterilir.
Uç Uca Ekleme Yöntemi
Vektörler, yönleri ve büyüklükleri değiştirilmeden biri diğerinin ucuna yerleştirilir. İlk vektörün başlangıç noktasından son vektörün bitiş noktasına çizilerek oluşturulan vektör, bileşke vektördür.
Paralelkenar Yöntemi
Bu yöntem yalnız iki vektörün toplamı için uygulanabilir.
- Vektörlerin başlangıç noktaları, yönleri ve büyüklükleri değiştirilmeden birleştirilir. Vektörlerin uçlarından diğerlerine paralel çizgiler çizilerek kesiştirilir. Başlangıç noktasından kesişim noktasına çizilen vektör bileşke vektördür.
Bileşke Vektörün Büyüklüğü
Aralarında \(a\) açısı olan iki vektörün bileşkesinin büyüklüğü kosinüs teoremi ile bulunur.
\[R^2=A^2+B^2+2.A.B.\cos a \]
İki vektörün bileşkesinin büyüklüğü, vektörlerin büyüklükleri farkından küçük, toplamından büyük olamaz.
- \(A-B\le R\le A+B\)
Bileşke vektör her zaman büyük olan vektöre daha yakındır. \(\vec{A}\) ve \(\vec{B}\) için:
- \(A = B\) ise \(a = \theta\) dır.
- \(A > B\) ise \(a < \theta\) dır.
- \(A < B\) ise \(a > \theta\) dır.
Büyüklükleri A olan iki vektör ele alalım.
- Vektörler arasındaki açı 60 derece ise bileşke vektörün büyüklüğü \(A\sqrt{3}\)
- Vektörler arasındaki açı 90 derece ise bileşke vektörün büyüklüğü \(A\sqrt{2}\) dir.
- Vektörler arasındaki açı 120 derece ise bileşke vektörün büyüklüğü A'dır.
İki vektörün de büyüklükleri aynı ise bileşke vektör açıortay doğrusudur diye düşünebiliriz.
Aradaki açı arttıkça bileşke değeri azalır. 0 derece iken en yüksek, 180 derece iken en küçüktür.
Vektörlerin Dik Bileşenlerine Ayrılması
Vektörel toplamları şekildeki gibi \(\vec{A}\) vektörüne eşit olan birbirine dik iki vektöre \(\vec{A}\) vektörünün bileşenleri denir.
- \(\vec{A}\) vektörü ve bileşenleri \(\vec{A_x},\vec{A_y}\) vektörleri arasında \(\vec{A}=\vec{A_x}+\vec{A_y}\), büyüklükleri arasında ise \(A^2=A_x^2+A_y^2\) ilişkisi vardır.
Vektör ile x ekseni arasındaki açı \(a\) ise
- \(A_x=A.\cos{a}\),
- \(A_y=A.\sin{a}\) dır.
\(\vec{K}\) ve \(\vec{L}\) gibi iki vektörle ilgili \(\vec{K}-\vec{L}\) işleminde \(\vec{K}\) ile \(-\vec{L}\) toplanır.
Pratik yol olarak vektörlerin yönleri değiştirilmeden başlangıç noktaları bir araya getirilir. Çıkarılacak vektörün bitiş noktasından diğer vektörün bitiş noktasına çizilen vektör, fark vektörüdür.
Questions
Easy
