Yatayda Çembersel Hareket

Düzgün Çembersel Hareket

Bir cismin O merkezli r yarıçaplı çembersel bir yörüngede şekildeki gibi sabit süratle hareket etmesine düzgün çembersel hareket denir.

Yapay ve doğal uyduların hareketinden bisikletlerin tekerleklerinin hareketine kadar çevremizde çembersel hareketin birçok örneğini görürüz.

Ardışık ve düzenli olarak tekrar eden hareketlere periyodik hareket denir. Çembersel hareket de bir periyodik harekettir.

Temel Kavramlar

Periyot

Düzgün çembersel hareket yapan bir cismin bir tam turu tamamlaması için geçen süreye periyot denir.

Kısaca ifade etmek için T harfi kullanılır. Periyot skaler bir büyüklüktür.
Birimi herhangi bir zaman birimi olabilir SI sisteminde periyot birimi saniye olarak kullanılır.

Frekans

Düzgün çembersel hareket yapan cismin birim zamandaki tur sayısına frekans denir.

Kısaca ifade etmek için f harfi kullanılır. Frekans skaler bit büyüklüktür.
SI'daki birimi Hertz (Hz) dir. \(Hertz = 1/saniye\) dir. Bir cismin frekansının 5Hz olduğu ifade ediliyorsa, cismin 1 saniyede 5 tur attığı anlaşılır.

Düzgün çembersel hareket yapan cismin frekans ve periyodu arasındaki ilişki aşağıdaki gibidir:

\(T.f = 1\)

Çizgisel Hız

Düzgün çembersel hareket yapan cismin yörüngesi üzerinde birim zamanda aldığı yola çizgisel hız denir.

Çizgisel hız \(\vec{v}\) ile gösterilir ve birimi m/s'dir.
Çizgisel hız vektörünün yönü daima yarıçapa dik ve yörüngeye teğettir.

Çembersel harekette çizgisel hızın büyüklüğü aşağıdaki gibidir. (Yol/Zaman)

\[v = \frac{2.\pi.r}{T} = 2.\pi.r.f \]

Yarıçap Vektörü

Cismin herhangi bir anda çembersel yörüngenin merkezi O noktasına göre yerini belirten vektöre yarıçap vektörü ya da konum vektörü denir.

Açısal Hız

Düzgün çembersel hareket yapan cismin yarıçap vektörünün birim zamanda taradığı açıya açısal hız denir.

\(\vec{\omega}\) ile gösterilir ve vektörel bir büyüklüktür.

Cismin açısal hızı aşağıdaki formül ile hesaplanır. (\(2\pi = 360\degree\) (yol), T: 360 dereceyi tamamlaması için geçen süre.)

\[\omega = \frac{2\pi}{T} = 2\pi.f \]

Açı radyan cinsinden alındığında SI birimi radyan/saniye dir.

\(v = (2\pi.r)/T\) olduğundan \(v = \omega.r\) olarak bulunur.

\(\omega\) ile birim zamandaki tur sayısı doğru orantılıdır.

Açısal hız vektörünün yönü çembersel yörünge düzlemine diktir ve sağ el kuralı ile bulunur.

Sağ el kuralına göre, dört parmak dönme yönünde kıvrıldığında sağ elin baş parmağı açısal hız vektörünün yönünü gösterir.

Bir eksen etrafında dönen katı bir cismin üzerindeki noktaların açısal hızları eşittir. Buna göre, şekildeki vantilatör pervanesi üzerindeki K,L,M noktalarının açısal hızları birbirine eşittir.

K,L ve M noktalarının çizgisel hızları arasında \(v_K < v_L < v_M\) ilişkisi vardır. Çünkü \(v = \omega.r\) şeklindedir.

Kutuplara yakın K noktası ile ekvatora yakın L noktasının Dünya'nın kendi ekseni etrafında dönmesinden kaynaklanan açısal hızları eşittir. Ancak dönme eksenine daha uzak olan L noktasının çizgisel hızı K'nınkinden daha büyüktür.

Bu hız farkının oluşturduğu merkezkaç kuvveti L noktasında daha fazladır. Dünyanın geoid (üstten basık, yanlardan şişkin) şeklinin temel sebebi de budur.

Merkezcil İvme

Düzgün çembersel hareket yapan cismin hareketi ivmeli bir harekettir. Bunun nedeni, hızın büyüklüğü sabit olmasına karşın hız vektörünün sürekli değişmesidir.

Düzgün çembersel harekette hız vektörünün yönünün değişmesi nedeni ile ortaya çıkan ivmeye merkezcil ivme denir.
Merkezcil ivme \(a\) ile gösterilir. Vektörel bir büyüklüktür ve birimi \(m/s^2\) dir.

Çizgisel hızın v, açısal hızın \(\omega\), yörünge yarıçapının r olduğu düzgün çembersel harekette merkezcil ivmenin büyüklüğünü veren ifade aşağıdaki gibidir.

\[a = \frac{v^2}{r} = \frac{(2\pi.r)^2}{T^2.r} = \frac{2\pi.2\pi}{T.T}.r = \omega^2.r \]

Merkezcil ivme vektörü daima çembersel yörüngenin merkezine doğrudur.

Merkezcil Kuvvet

Bir cismin düzgün çembersel hareket yapmasını sağlayan net kuvvete merkezcil kuvvet denir.

Merkezcil kuvvetin yönü daima çembersel yörüngenin merkezine doğrudur.

Merkezcil kuvvetin büyüklüğü aşağıdaki formül ile bulunur.

\[F_{merkezcil} = \frac{m.v^2}{r} = m.\omega^2.r \]

Yatay Düzlemde Düzgün Çembersel Hareket

Sürtünmesi önemsiz yatay düzlemde bir ipin ucuna bağlanmış cisim düzgün çembersel hareket yapıyorsa, hareketi yaptıran merkezcil kuvvet ipteki gerilme kuvvetidir. Hareket düzlemine dik olması nedeni ile cismin ağırlık kuvvetinin harekete etkisi yoktur.

\[F_{merkezcil} = T_ip = \frac{m.v^2}{r} = m.\omega^2.r \]

Cisim ip yerine bir yaya bağlanmış olarak çembersel hareket yaparsa yayda x kadar uzama meydana gelir ve merkezcil kuvvet yaydaki gerilme kuvvetine eşit olur.

\[F_{merkezcil} = F_{yay} = k.x = \frac{m.v^2}{r} = m.\omega^2.r \]

Yatay düzlemde düzgün çembersel hareket yapan cisme bağlanan ipin diğer ucu yörünge merkezi olan O noktasına açılmış sürtünmesiz delikten geçirilerek ucuna bir ağırlık bağlanmıştır. Bu durumda cismin düzgün çembersel hareket yapması sürdürüldüğünde, merkezcil kuvvet ipin ucuna asılan ağırlığa eşittir.

\[F_{merkezcil} = T_{ip} = G = \frac{m.v^2}{r} = m.\omega^2.r \]

Questions

Cisim eğer 9x lik kısmı 18 saniyede geçiyorsa, x uzunluğundaki bir kısmı 2 saniyede geçer.
Daire çevresi 4x olduğundan periyot 8 saniyedir. Cisim çember etrafını 8 saniyede dolanır.
Birim zamanda ise çemberin 1/8'ini dolanır.

Dişlilerin çapları ile tur sayıları çarpımı doğru orantılıdır.
\(\omega\) ile tur sayısı doğru orantılıdır.

Bir aracın hızı, aracın tekerleğinin dış noktasının (tekerleğin çevresi) birim zamanda aldığı yola eşittir.
Yani aracın hızı: \((2\pi.r)/T\) dir.
\(\omega = 2\pi/T\) olduğundan formülde yerine yazarsak: \(v = \omega.r\) bulunur. Bu aracın hızına eşittir.

Çizgisel hız vektörel olduğu ve dönme süresince yönü değiştiği için, çizgisel hız değişir.
Açısal hızının yönü sağ el kuralı ile bulunur ve dönme süresince yönü de büyüklüğü de değişmez.
Merkezcil ivmenin büyüklüğü topun dönme hızı değişmediği sürece değişmez.
Yarıçap vektörünün büyüklüğü dönme süresince değişmez.

Eş merkezli olduğu için aynı sayıda tur atarlar.