AYT-MAT 01. Polinomlar-1

Next: AYT-MAT 02. Polinomlar-2

Polinom Nedir?

Eğer n dereceden bir denklemde x in tüm kuvvetleri bir doğal sayı ise ve katsayıları gerçek sayı ise, o denklem polinom belirtir.

Bir denklemin polinom belirtebilmesi için bütün x değerleri için denklem tanımlı olmalıdır. Tanımlı değilse o bir polinom değildir.

\(f(x)=x^2/x\) in x=0 için değeri tanımsızdır ve polinom değildir. Fakat \(f(x)=x\) bir polinomdur.

x paydada olamaz (çünkü \(x^{-1}\) polinom değildir). Olabilmesi için pay ile sadeleştirilebiliyor olması ve herhangi bir değerinin tanımsız olmaması gerekir. (\(x^2/x\) tanımsızdır çünkü 0/0 olur)

Her polinom bir fonksiyondur ama her fonksiyon bir polinom değildir. Çünkü bir ifadenin polinom olması için üslerin tam sayı ve pozitif olması lazım. ancak, fonksiyon için böyle bir kısıt yok.

\(P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}...+a_{1}x^{1}+a_{0}\)

Olmak üzere

Polinom terimleri: x'in kuvvetlerinin farklı olduğu gruplar. (Örneğin: \(a_{n}x^{n}\))
Polinom katsayıları: x'in önündeki değerler. (Örneğin: \(a_{n}\))
Polinom derecesi: x'in en büyük kuvveti. der[P(x)]=n şeklinde gösterilir.
Polinomun başkatsayısı dereceyi belirleyen x'in önündeki katasyı. (Örneğin: \(a_{n}\))
Polinomun sabit terimi: x'in kuvvetinin 0 olduğu kısım. (Yanında x değişkeni olmayan kısım)

Eğer polinomun derecesi n ise fakat denklemde x'in kuvvetleri n'den büyük ise, n'den büyük olan kısımların katsayısı 0 dır.

Denklemin polinom olduğu söyleniyor fakat bazı kısımları polinom koşullarını karşılamıyor ise, o kısımları polinoma benzet.

Aynı sayının farklı kuvvetlerinin çarpımı durumunda kuvvetler toplanır. (Örneğin: \(x^n.x^m=x^{n+m}\))

Sayının kuvveti ile kuvvetinin kuvveti çarpılır.

Fonksiyon kurallarına uyan tüm polinomlar polinom fonksiyondur.

Herhangi bir P(x) polinomunda P(a) sorulduğunda P(a)'yı bulmak için x gördüğün yere a yazmalısın.

\(P(x)=2x-7\) için \(P(3)=2.3-7\)
\(P(3x+4)=11x\) için \(P(7)=11.1\)

\((x+y)^3 = x^3+3x^2y+3xy^2+y^3\)

P(x), 1. dereceden ise \(P(x)=ax+b\)
P(x), 2. dereceden ise \(P(x)=ax^2+bx+c\)

P(x) polinomu 1. dereceden bir polinom ve P(a)=0 ise \(P(x)=k(x-a)\)
- Fonksiyon yerine a yazılınca sonucun 0 olabilmesi ve denklemin 1. dereceden olabilmesi için bunun böyle olması gereklidir.
- Burada k başkatsayıdır.
P(x) polinomu 2. dereceden bir polinom ve P(b)=0 ise \(P(x)=k(x-b)^2\) ya da \(P(x)=k(x-b)(x-c)\)
- Fonksiyona a parametresini verince sonucun 0 çıkması ancak böyle gerçekleşir.
P(x) polinomu 2. dereceden bir polinom ve P(a)=P(b)=m ise
- P(a)=P(b)=0 için \(P(x)=k(x-a)(x-b)\)
  - P(a)=P(b)=m için için \(P(x)=k(x-a)(x-b)+m\)

Eğer polinom grafiğinin çizgileri x eksenini delip geçiyorsa, polinomun delen kısmının kuvveti 1 dir.

Eğer çizgisi x ekseninden sekiyorsa, seken kısmın kuvveti çifttir.

Eğer x ekseninden teğet geçiyorsa, teğet geçen kısmın kuvveti 1 den büyük tek sayıdır.

Sorularda denklemin başkatsayısını ya da başka bir bilinmeyeni bulmak için polinomdaki bir noktanın x ve y değerleri verilir. Oluşturduğun denklemin x ve y kısımlarına bunlar yerleştirilip başkatsayı bulunur.