AYT-MAT 03. Polinomlar-3
- Next: AYT-MAT 04. Polinomlar-4
Polinomlarda Toplama ve Çıkarma
Polinomlarda toplama ve çıkarma işlemi yapılırken aynı dereceli terimlerin katsayıları toplanır ya da çıkartılır.
\(P(x)=2x^3-x^2-3x+5\) ve \(Q(x)=x^2+2x-1\) olmak üzere
- \(P(x)+Q(x)=2x^3-x+4\) dir.
Polinomlarda Çarpama İşlemi
P(x) ve Q(x) polinomları için P(x).Q(x) i bulmak için P(x) polinomunun her terimi Q(x)'in her terimi ile tek tek çarpılır.
Polinom Eşitliği
Eğer iki polinom eşit ise, aynı dereceli terimlerin katsayıları birbirine eşittir.
Polinomlarda Derece ile İlgili İşlemler
\(P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_0\) polinomunun derecesi n'dir.
- \(der[P(x)]=n\) şeklinde gösterilir.
- \(der[P(x)]=m, der[Q(x)]=n, m > n\) ve m, n doğal sayı olmak üzere
- \(der[P(x) \pm Q(x)]=m\)
- m ve n birbirine eşit olduğunda, başkatsayıları simetrik ise (biri + biri - olan aynı sayı) cevap m olmaz, birbirini götürmeyen daha küçük bir derece çıkar.
- \(P(x)=2x+4\) ve \(Q(x)=-2x+6\) olursa, \(der[P(x)+Q(x)]=0\) olur
- \(der[P(x).Q(x)]=m+n\) (çarpımda üsler toplanır)
- \(der[x.P(x)]=m+1\)
- \(der[\frac{P(x)}{Q(x)}]=m-n\) (bölmede üsler çıkartılır)
- \(der[P(x) \pm Q(x)]=m\)
k bir doğal sayı olmak üzere
- \(der[P^k(x)]\) = m.k
- \(der[P(x^k)]\) = m.k
Üssün üssü çarpılır.
- \(der[P(Q(x))]\) = m.n
Örnek Soru:
\(x^2.P(x)-x.P(x-1)=2x^3-x^2+x\) eşitliği veriliyor.
Buna göre P(x+1) polinomunun katsayılar toplamı kaçtır?
Bu soruda, polinomun dereceleriyle ilgili işlemler ve polinom eşitliğinden yararlanılır.
- Sağdaki en büyük derece 3 tür, soldaki de böyle olmalıdır. Ek olarak, soldaki en büyük dereceyi sağlayan kısım \(x^2.P(x)\) dir. Bu sebeple \(der[x^2.P(x)]=3\) ve P(x)'in derecesi 1 bulunur.
- Bu sebeple \(P(x)=ax+b\) dir.
- Solda, P(x) yerine ax+b yazılır ardından dağıtma işlemi yapılır ve sol kısım sağa benzetilir.
- Çıkan sonucun sağdakiyle aynı dereceli olan kısımların katsayıları eşittir. Böylelikle a ve b bulunur.
- ardından ax+b denklemi üzerinde P(2) nin cevabı bulunarak soru bitirilir.
- dereceden polinom: \(ax+b\)
- dereceden polinom: \(ax^2+bx+c\)
- dereceden polinom: \(ax^3+bx^2+cx+d\)