Mathematics

AYT-MAT 04. Polinomlar-4

Polinomlarda Bölme İşlemi

Bir bölme işlemi, bölünen = bölen . bölüm + kalan şeklinde tanımlanabilir.

P(X) polinomunun Q(x) polinomuna bölümünden elde edilen bölüm B(x) ve kalan K(x) dir.

\(P(x)=Q(x).B(x)+K(x)\)

K(x) in derecesi her zaman Q(x) den küçüktür.

Adımlar

\(P(x)=3x^5-x^3+1\) polinomunun \(x^2-1\) ile bölümünü bulunuz.

  1. Bölünen polinomunun ilk terimini (\(3x^5\)) bölen polinomunun ilk terimine (\(x^2\)) böler ve sonucu (\(3x^3\)) bölüm kısmına yazarız.
  2. Bulunan bu sonucu (\(3x^3\)) bölen polinomu (\(x^2-1\)) ile çarparak sonucu bölünenin altına yazar ve çıkartırız. Sonuç (\(2x^3+1\))
  3. İlk aşamayı çıkan sonuç için tekrar uygularız. (\(2x^3/x^2=2x\)) Ve çıkan sonucu bölüme ekleriz.
  4. Bulunan sonucu (2x) bölenin tamamı (\(x^2-1\)) ile çarpar ve sonucu önceki işlemde bölünenden kalanın altına yazar ve ondan çıkartırız.
  5. Bu aşamalar, kalanın derecesi bölenden küçük oluncaya kadar devam eder

303-f13ff5.png

\(P(x)=(x^2+x+1)(x-1)+2x+1\)

  • Soruları daha hızlı çözmek için küp açılımı ve kare açılımını iyi öğren. Bu polinom bölüneni denkleminde bölen ve bölüm kısmı \(x^3-1^3\)'ün açılımıdır.

bölenin derecesi 1 ise kalan daima sabit bir sayıdır. Ösym bu sabit sayıyı bulma sorularından sorar.
Uzun işlemler yapmadan bu sabit sayıyı bulmak istiyorsan ve bölen ile polinomun kendisini biliyorsan, bölen kısmı 0 yapıp polinomu kalana eşitlersin.

  • \(P(x)=(x+2)(B(x))+K\) olsun. x=-2 için P(-2)=K olur.

screenshot-1751454059.png

Eğer bir polinomun (\(P(x)\)) çarpanlarından biri \(Q(x)\) ise, polinomun buna bölümünden kalan sıfırdır. Bu sebeple, örneğin \(Q(x)=x+1\) ise, \(x=-1\) için \(P(-1)=0\) olur. (Çünkü kalan zaten sıfırdır ve böleni sıfırladığımızda bölümü de götürür)

\(P(mx+n)\) polinomunun \((x-a)\) ile bölümünden kalan bulunurken