Mathematics: 58. Integral-9: Integralde Alan-1 Riemann Toplamı

Riemann Integrali - Alan Hesabı

[a,b] aralığında y=f(x) eğrisi ile x ekseni arasında kalan alan Riemann toplamı ile hesaplanır.

Riemann toplamı ile, eksili değerler için mutlak değer alındığında alan bulunabilse de, bu yapılmazsa eksi ve artı değerler birbirini götürebilir ve alan bulunmaz.

Bölüntüler

[a,b] aralığı n tane eşit alt aralığa bölünürse her bir alt aralığın genişliği

\[\Delta x=\frac{b-a}{n} \]

Formülü ile hesaplanabilir.

Example Questions

Bir fonksiyon f(x), [a, b] aralığında tanımlı olsun. Bu aralık üzerine n adet alt aralık olacak şekilde bölünsün:

\[a = x_0 < x_1 < x_2 < \ldots < x_n = b \]

Bu bölmede her alt aralığın kümesi:

\[[x_0,x_1], [x_1,x_2], [x_2,x_3], ..., [x_{n-1}, x_n] \]

Ve her alt aralığın genişliği:

\[\Delta x_i = x_i - x_{i-1}, \quad i = 1, 2, \ldots, n \]

Riemann Alt Toplamı

Riemann alt toplamı, her alt aralık kümesinin en küçük sayısının (oluşan dikdörtgenin sol uç noktasın) fonksiyon değeri kullanılarak hesaplanır:

\[L_n = \sum_{i=1}^{n} f(x_{i-1}). \Delta x_i \]

Burada;

\(f(x_{i-1})\): Alt aralığın sol ucunun fonksiyon değeri.
\(\Delta x_i\): Alt aralığın genişliği.
Çarpımları o dikdörtgenin alanını verir.

Alt toplamı ile bulunan alan, grafik x ekseninin üstünde ise, gerçek alandan daha küçüktür.

Example Questions

Riemann Üst Toplamı

Riemann üst toplamı, her alt aralık kümesinin en büyük sayısının (oluşan dikdörtgenin sağ uç noktası) fonksiyon değeri kullanılarak hesaplanır:

\[L_n = \sum_{i=1}^{n} f(x_{i}). \Delta x_i \]

Burada;

\(f(x_{i})\): Alt aralığın sağ ucunun fonksiyon değeri.
\(\Delta x_i\): Alt aralığın genişliği.
Çarpımları o dikdörtgenin alanını verir.

Üst toplamı ile bulunan alan, grafik x ekseninin üstünde ise, gerçek alandan daha büyüktür.

Grafiğin gerçek alanı, üst Riemann ile alt Riemann toplamı arasında bir değer alabilir veya (doğrusal ise) bunlara eşit olabilir.

\(RAT \le Alan \le RÜT\)

Example Questions

Riemann Toplamı

Riemann üst toplamı, her alt aralık kümesinin ortanca sayısının (oluşan dikdörtgenin ortası) fonksiyon değeri kullanılarak hesaplanır:

\[L_n = \sum_{i=1}^{n} f[(x_{i-1}+x_{i})/2]. \Delta x_i \]

Burada;

\(f[(x_{i-1}+x_{i})/2]\): Alt ve üst aralığın orta noktasının fonksiyon değeri.
\(\Delta x_i\): Alt aralığın genişliği.
Çarpımları o dikdörtgenin alanını verir.

Example Questions

x Eksenine Göre Alan Bulma

[a,b] aralığında sürekli bir y=f(x) eğrisi ile x=a, x=b ve x ekseni arasında kalan bölgenin alanı:

\[\int_a^b f(x)dx \]

[a,b] aralığında sürekli bir y=f(x) eğrisi ile x=a, x=b ve x ekseni arasında kalan bölgenin alanı:

\[\int_a^b |f(x)|dx=-\int_a^b f(x).dx \]

x ekseninin altında kalan fonksiyonun integralinin değeri negatif olacağından sonuç eksi ile çarpılır ya da fonksiyonun mutlak değeri alınır.
Eğer integralin aralığında fonksiyonun bir kısmı negatif bir kısmı da pozitif ise mutlak değer alınarak fonksiyon parçalı hale getirilir ve fonksiyonun x ekseninin altında kalan kısmı üste taşınır. Böylelikle integral alındığında bu kısımların negatif ve pozitif değerleri birbirini götürmez, toplam alan bulunur.

Proof

Buraya daha iyi bir ispat yaz.

[a,b] aralığında doğrusal bir fonksiyon \(f(x)=mx+n\) olsun.
Bu fonksiyonun x ekseni ile arasındaki alanı yamuk kullanarak hesaplanabilir:

\[\frac{[f(a)+f(b)](b-a)}{2}=\frac{[m(a+b)+2n](b-a)}{2} \]

Integral formülünü kullandığımızda da aynı değer elde edilebilir:

\[\int_a^b (mx+n)dx=\frac{mx^2}{2}+nx\Big|_a^b=\frac{[m(a+b)+2n](b-a)}{2} \]

Sadece doğrusal değil, eğimli fonksiyonlar için de integral ile alan bulma formülü geçerlidir.

Eğer f(x) fonksiyonu x ekseninin yukarısında kalıyorsa, integral ile alan hesaplandığında f(x) mutlak değerin içine alınsa da alınmasa da integralin değeri aynı gelir. Fakat x ekseninin altında kalıyorsa mutlak değeri alındığında pozitif, alınmadığında negatif gelir.

Eğer [a,b] aralığında fonksiyon x ekseninin altında ise, o bölgede integralin cevabı, x ekseni ile fonksiyon arasındaki alanın ters işaretlisidir.

Example Questions

[a,b] aralığında y ekseni ile f(x) fonksiyonu arasında kalan alanı bulmak için f(x) fonksiyonunun tersinin integrali alınır:

\[\int_{f(a)}^{f(b)} f^{-1}(x)dx= Alan \]

Questions

Güzel soru, bi ara tekrar çöz.