Açısal Momentum ve Dönme
Bir cismin tüm taneciklerinin yere göre eşit çizgisel hız ile hareket etmesi durumuna öteleme hareketi denir. Sabit süratle yamaçtan kayan bir kayakçının hareketi öteleme hareketidir.
Bir cismin tüm taneciklerinin bir eksene göre eşit açısal hız ile hareket etmesi durumuna dönme hareketi denir. Vantilatör pervanesinin hareketi bir dönme hareketidir.
Hem dönme, hem de öteleme hareketi yapan cisimlerin hareketine dönerek öteleme hareketi ya da yuvarlanma hareketi denir. Bir bisikletin tekerleklerinin hareketi bir dönerek öteleme hareketidir.
Tekerlek bir tur dönerek ilerlediğinde çevresi kadar yol almış olur. Geçen süre T, alınan yol \(2\pi.r\) olduğuna göre öteleme hızı \((v_o)\) aşağıdaki gibidir.
\[v_o = \frac{2\pi.r}{T} \]
Tekerlek üzerindeki bir nokta öteleme hareketinin yanında dönme hareketi yaparak bir tam tur atmıştır. Bu durumda dönme hareketinden kaynaklanan çizgisel hız \(v_c\) aşağıdaki gibidir.
\[v_c = \frac{2\pi.r}{T} \]
Buna göre, kaymadan dönerek öteleme hareketi yapan cismin öteleme hızı ile cismin yere temas eden bölgesinde bulunan noktaların çizgisel hızlarının büyüklükleri eşittir.
- \(v_o = v_c\)
Doğrusal bir hareket sırasında öteleme hızının yönü sürekli sabittir fakat dönme çizgisel hızının yönü sürekli olarak değişir. v ötleme hızı ile kaymadan yuvarlanan tekerlek üzerindeki bazı noktaların yere göre bileşke hız vektörleri şekildeki gibi olur.
- K noktasının yere göre hızının büyüklüğü 2v,
- O noktasının yere göre hızının büyüklüğü v,
- M noktasının yere göre hızının büyüklüğü sıfır,
- L ve N noktalarının yere göre hızının büyüklüğü \(v\sqrt{2}\) dir.
Eylemsizlik Momenti
Dönen cisimlerin dönmeye karşı gösterdikleri dirence eylemsizlik momenti denir.
- Skaler bir büyüklük olan eylemsizlik momenti \(I\) ile gösterilir ve birimi \(kg.m^2\) dir.
r yarıçaplı çembersel yörüngede dolanan m kütleli noktasal cismin eylemsizlik momentini veren ifade aşağıdaki gibidir.
- \(I = m.r^2\)
Noktasal olmayan cisimlerin eylemsizlik momenti kütlesine, cismi oluşturan her parçacığın dönme eksenine olan dik uzaklığına ve cismin geometrik şekline bağlıdır.
Bazı düzgün geometrik şekle sahip cisimlerin eylemsizlik momentleri aşağıdaki gibidir.
Bunları ezberlemene gerek yok (Thank god)
Cismin kütlesi merkezinden ne kadar uzaksa, eylemsizlik momenti o kadar büyük olur.
Dönme ve Dönerek Öteleme Hareketi Yapan Cismin Kinetik Enerjisi
Düzgün çembersel hareket yapan cismin bu hareketinden dolayı sahip olduğu kinetik enerjiye dönme kinetik enerjisi denir.
v süratiyle öteleme hareketi yapan m kütleli bir cismin öteleme kinetik enerjisi aşağıdaki gibidir.
\[E_{oteleme} = \frac{1}{2}.m.v^2 \]
Eylemsizlik momenti I olan ve \(\omega\) açısal hızı ile dönen bir cisim dönme kinetik enerjisine sahiptir.
- Öteleme kinetik enerjisi bağıntısında v yerine \(\omega.r\) yazıldığında dönme hareketi yapan bir cismin dönme kinetik enerjisi aşağıdaki gibidir.
\[E_{donme} = \frac{1}{2}I.\omega^2 \]
Dönerek öteleme hareketi yapan cisimlerin kinetik enerjisi, öteleme kinetik enerjisi ile dönme kinetik enerjilerinin toplamına eşittir.
- \(EK = E_{oteleme} + E_{donme}\)
\[EK = \frac{1}{2}.m.v^2 + \frac{1}{2}.I.\omega^2 \]
Süratleri eşit iki özdeş cisimden; dönerek ilerleyen cisim, yalnızca öteleme hareketi yapan cisme göre daha büyük kinetik enerjiye sahiptir.
Sürtünmeye harcanan enerjinin önemsenmediği bir eğik düzlemde eşit yükseklikten serbest bırakılan eşit kütleli küre ve küpten, küp küreye göre daha kısa sürede aşağıya ulaşır. \((v_X < v_Y)\)
- Bunun sebebi kürenin yuvarlanarak hareket etmesi sebebiyle tüm potansiyel enerjisinin öteleme kinetik enerjisine değil, birazının da dönme kinetik enerjisine dönüşmesidir.
Bir eğik düzlem üzerinden eşit yükseklikten bırakılan ve yuvarlanarak aşağıya inen eşit kütleli ve eşit yarıçaplı içi dolu küre ile içi boş küreden, eylemsizlik momenti küçük olan içi dolu küre daha kısa sürede aşağıya ulaşır. (\(I_X < I_Y\) olduğundan \(v_Y < v_X\))
Yere doğru eğimli rampanın üstünde duran bir cismin 100J potansiyel enerjisi olsun. Bu potansiyel enerji, enerjinin korunumuna göre, cisim serbest bırakılıp en aşağıya ulaştığında tamamen kinetik enerjiye dönüşür. (Sürtünme önemsenmediğinde)
\(EK = E_{oteleme} + E_{donme}\) olduğundan ve rampanın en aşağısına 100J'ye eşit olacağından, \(E_{donme}\) ne kadar küçük olursa \(E_{oteleme}\) o kadar büyük olur.
Açısal Momentum
Çembersel hareket yapan cisimlerin bu hareketlerinden dolayı sahip oldukları momentuma açısal momentum denir.
- Açısal momentum \(\vec{L}\) ile gösterilir, vektörel bir büyüklüktür.
Açısal momentum, çizgisel momentumun yarıçap vektörü ile çarpımından elde edilir.
- \(\vec{L} = \vec{P}.\vec{r}\)
Açısal momentumun yönü, tıpkı açısal hız gibi sağ el kuralı ile bulunur. Bkz: Yatayda Çembersel Hareket
Noktasal cisimlerde açısal momentumun büyüklüğünü hesaplamak için \(L = m.v.r\) bağıntısı da kullanılabilir.
- \(v = \omega.r\) olduğundan \(L = m.\omega.r^2\) olur. \(I = m.r^2\) olduğundan \(L = I.\omega\) olarak bulunur.
Şekildeki gibi kendi dönme ekseni etrafında \(\omega\) açısal hızı ile dönen ve dönme eksenine göre eylemsizlik momenti \(I\) olan cisimlerin dönme eksenine göre açısal momentumu aşağıdaki gibi ifade edilebilir.
- \(\vec{L} = I.\vec{\omega}\)
Bir dönen sandalyede dönen biri kollarını açtığında yavaş, kollarını kapattığında hızlı döner. Bunun sebebi \(L=I.\omega\) denkleminde \(I=m.r^2\) azaldıkça \(\omega = 2\pi.f\) nin artmasıdır.
Açısal İvme, Tork ve Eylemsizlik Momenti Arasındaki İlişki
Çembersel hareket yapan cismin açısal hızında birim zamanda meydana gelen değişime açısal ivme denir.
\[\vec{\alpha} = \frac{\Delta\vec{\omega}}{\Delta t} \]
Vektörel bir büyüklük olan açısal ivme \(\alpha\) ile gösterilir ve birimi radyan/saniye^2 dir.
r yarıçaplı yörüngede gerçekleşen çembersel hareketin çizgisel ivmesi \(a\) ise açısal ivme ve çizgisel ivme arasındaki ilişki:
- \(\vec{a} = \vec{\alpha}.r\)
Bir cisme etki eden kuvvet, cismin kütlesi ve cismin kazandığı ivme arasında bir bağıntı olduğu gibi cisme etki eden tork, cismin eylemsizlik momenti ve açısal ivme arasında benzer bir bağıntı vardır.
- \(\vec{\tau} = I.\vec{\alpha}\)
Bir cismin çizgisel hızında değişiklik gerçekleşmesi için cisme kuvvet uygulanması gerektiği gibi bir cismin açısal hızının değişmesi içinde cisme tork etki etmesi gerekir.
Açısal Momentumun Korunumu ve Günlük Hayattaki Yeri
Bir cisme ya da sisteme etki eden dış kuvvet sıfır ise çizgisel momentum korunur. Benzer şekilde çembersel hareket yapan cisme etki eden net tork sıfır ise açısal momentum korunur ve bu duruma açısal momentumun korunumu denir.
- Bir olay sırasında sisteme etki eden net tork sıfır ise cismin ilk ve son açısal momentumları eşittir.
- \(\vec{L}_{ilk}=\vec{L}_{son}\)
- \(I_{ilk}.\omega_{ilk} = I_{son}.\omega_{son}\)
Cimnastik ve buz pateni sporcuları hareketlerini sergilerken özellikle dönüş hızlarını artırmak için açısal momentumun korunumundan yararlanırlar.
Questions
- Eylemsizlik momenti cismin şekline (veya yarıçapının karesine) ve kütlesine bağlıdır.
- Omega açısal hızı, eş cisimler eş merkeze sahip olduğu için ikisinde de aynıdır.
- Sisteme dışarıdan tork etki etmediği için açısal momentum değişmez.
- Kabuğun içe çökmesi sonucu dünyanın yarıçapı azaldığı için eylemsizlik momenti azalır.
- L cismi her ne kadar sisteme sonradan eklense de, masa sebebiyle bir tork oluşturmadığı için açısal momentum korunur, değişmez.