AYT-MAT 05. Polinomlar-5

Previous: AYT-MAT 04. Polinomlar-4
Next: AYT-MAT 06. İkinci Dereceden Denklemler-1

Polinomlarda Bölme İşlemi-2

\(P(x)\) polinomunun \(x^n-a\) ile bölümünden kalan bulunurken

\(x^n-a=0\) ve \(x^n=a\) alınır.

Bu nedenle verilen polinom \(x^n\) cinsinden yazılır.

\(P(x)=(x^n-a).B(x)+K(x)\) ise, \(x^n\) in a ya eşit olması durumunda \(P(x)=K(x)\) olur.
Kalanın derecesi n den küçük olmak zorundadır.

Örnek-1
\(P(x)=2x^4-3x^2-11\) polinomunun \(x^2+2\) ile bölümünden kalan kaçtır?

\(P(x)=(x^2+2).B(x)+K(x)\)
\(x^2=-2\)
\(2(-2)^2-3(-2)-11=K(x)\)
\(K(x)=3\)

Örnek-2
\(P(x)=x^5-x^4+x^3-x^2+3\) polinomunun \(x^2+3\) ile bölümünden kalan nedir?

\(P(x)=(x^2+3).B(x)+K(x)\)
\(x^2=-3\)
Sadece \(x^2\)'ye ne yazılması gerektiğini biliriz. \(x\) yerine yazılması gereken değeri bilemediğimiz için olduğu gibi bırakırız.
\((x^2)^2x - (x^2)^2 + (x^2)x - x^2 + 3\)
\(K(x)=6x-3\)

Polinomlarda eşitliğin kullanıldığı bir işlem örneği:
\((b-2)x+4-a=0\) ise, sağ tarafta x olan bir terim bulunmadığından sol tarafta da olmaması gerekir. Bu sebeple \(b=2\) olur. Sabit kısmın ise 0 olması gerektiği için \(a=4\) olur.

Polinomların Sıfırları

Bir polinomda x yerine yazıldığında sıfır sonucunu veren sayılara polinomun sıfırları denir.

Polinomun sıfırarı \(P(x)=0\) denkleminin kökleridir.

Örnek
\(P(x)=x^2+x-2\) polinomunun sıfırlarını bulunuz.

\(x^2+x-2=0\)
Carpanlara ayırma sonucu: \((x+2)(x-1)0\)
\(x=-2\) ve \(x=1\)

Sıfırları ve başkatsayısı bilinen polinomun denklemini yazma:
Başkatsayısı k olan ikinci dereceden P(x) polinomunun sıfırları a ve b'dir.
Polinom: \(k.(x-a)(x-b)\)

Ortak paranteze almada ortak terim parantez dışına yazılır ve geri kalanlar parantez içinde toplanır.

\(2(x+1)(x+a)\) ve \(2(x+1)(x+b)\) nin ortak parantezi \(2(x+1)(2x+a+b)\) dir.

Gauss Toplamı (1 den n ye kadar olan ardışık sayıların toplamı) Formülü: \(n(n+1)/2\)