AYT-MAT 06. İkinci Dereceden Denklemler-1

Previous: AYT-MAT 05. Polinomlar-5
Next: AYT-MAT 07. İkinci Dereceden Denklemler-2

a, b ve c gerçek sayılar a != 0 olmak üzere

\(ax^2+bx+c=0\)

biçimindeki denklemlere ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem; a, b ve c katsayılarına ise, bu denklemin katsayıları denir.

Denklemi sağlayan x sayılarına denklemin kökleri denir.
Denklemin köklerinin oluşturduğu kümeye denklemin çözüm kümesi denir.

Çarpanlara ayırma yöntemi ile denklem çözümü
\(ax^2+bx+c=0\)

denkleminin sol tarafı çarpanlarına ayrılabilen türden ise her bir çarpan ayrı ayrı sıfıra eşitlenerek denklemin kökleri bulunur.

Çaprazlama değerler bulunduktan sonra yan yana olanlar ayrı parantez içinde toplanır. \((x+m)(x+n)\)

x^2+2x-15=0
\((x-3)(x+5)=0\)
\(x=3\) ve \(x=-5\)

\(a^{m+n} = a^m.a^n\)

Bazı denklemlerde benzer ifadeler değişken değiştirme yapılıp ikinci dereceden denkleme dönüştürülerek yapılır.

\(4^x+2^{x+3}\) yerine, \(x^2=t\) olursa, \(t^2+8t\) yazılabilir.
(fog)(x)=0 gibi bileşke fonksiyonlarda bu yöntemi kullanabilirsin. g(x) denklemine a yaz ve f(x) denklemi yerine koy. a'nın denklemdeki değerlerini bulduktan sonra da g(x)'i a'nın bu değerlerine eşitle, a'yı karşıya at ve x köklerini bul.
Köklü denklemlerde köklü ifade kökten kurtarılarak denklem çözülür. Bulunan kökler ilk denklemde yerine yazılarak kontrol edilir.
- Kökten kurtarmak için köklü ifadeyi yanlız bırakıp her iki tarafın da karesini al.
- Kök içine bulduğun sayılardan koyunca denklemi sağlamayabilir. Kontrol etmeyi unutma.

Tam kare yöntemi ile denklem çözme
a != 0; a, b ve c reel sayı olmak üzere

\(ax^2+bx+c=0\)

şeklinde verilen 2. dereceden denklem çözülürken terim ekleme ve terim çıkarma yapılarak tam kare elde edilir.

Örnek
\(x^2-6x+4=0\) denkleminin köklerini bulunuz.

\((x+y)^2=x^2+2xy+y^2\) dir.

denklemdeki -6x 2xy ye eşitlenerek y=-3 bulunur.

O halde denklemin sonunun 9 olması gerekir. Asıl denklemden 5 ekleyip 5 çıkartılır. \(x^2-6x+9-5=0\)

İfadesinin bir kısmı tam kareye alınır. \((x-3)^2-5=0\)

\(x-3=\sqrt{5}\) ve \(x-3=-\sqrt{5}\) bulunur.

O halde denklemin kökleri \(\sqrt{5}+3\) ve \(-\sqrt{5}+3\) dür.

Diskriminant İle Kök Bulma

a != 0; a, b ve c reel sayı olmak üzere

\(ax^2+bx+c=0\)

Diskriminant:

\[\Delta={b^2-4ac} \]

Denklemin kökleri:

\[x_1, x_2 = \frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a} \]

İspat
Bir \(ax^2+bx+c=0\) denkleminde amacımız x'in köklerini bulmaktır. Eğer çarpanlarına ayrılmıyorsa denklemi tam kare ifadeye çevirerek çözebiliriz.

\(x^2\) nin önündeki katsayıdan kurtulmak için her yeri a ya böl. (\(x^2+bx/a+c/a=0\))

x'in önündeki b/a kısmı, tam kare ifadenin açılımındaki (birinci ve ikincinin çarpımının 2 katı) ikinci terimin iki katına eşittir. Bu sebeple \(b/2a\) ikinci terime eşit olur.

Eşitliğin bozulmaması için tam kare açılımının "ikincinin karesi" ni hem ekleyip hem de çıkartırız. Sonuç: \(x^2+bx/a+b^2/4a^2-b^2/4a^2+c/a=0\)

\((x+b/2a)^2=b^2/4a^2-c/a\)

\((x+b/2a)^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}\)

Her iki tarafın da karekökünü aldığımızda \(x+b/2a=\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\) ve \(x+b/2a=\frac{-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\) bulunur.

Burada kök içindeki \(b^2-4ac\) terimi uzun olduğu için ona kısaca diskriminant(\(\Delta\)) denmiştir.

x'i yanlız bırakırsak Denklemin kökleri:
\(x=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\) ve \(x=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\) olarak bulunur.

Karekökün içi (diskriminant), denklemin reel sayılarda tanımlı olabilmesi için, 0 ya da 0'dan büyük olmalıdır.

\(\Delta<0\): Denklemin gerçek sayılarda tanımlı bir kökü yoktur. (Sanal sayılarda vardır)
\(\Delta=0\): Denklemin aynı değerde iki kökü vardır, tam kare ifadedir. Formül iki kök için de aynı sonucu verir.
\(\Delta>0\): Denklemin iki farklı kökü vardır.

\(x^2\) nin önü asla 0 olamaz. (Çünkü 2. dereceden bir denklem)

Eğer soru 2. dereceden bir denklem veriyorsa ve köklerinden birinin h olduğunu söylüyorsa, h'yi denklemde yerine yazmayı dene. Yararlı bir bilgi verebilir.