AYT-MAT 08. İkinci Dereceden Denklemler-3
Sanal Sayı
\(\sqrt{-1}\) sayısına sanal sayı (imajiner sayı) denir.
\(i=\sqrt{-1}\) veya \(i^2=-1\) ile gösterilir.
Örneğin, küp kök gibi bir kavramın içinde eksili bir değer bulunabilir. Cevap yine reel bir sayıdır. Sadece çift olanların içinde eksi değer bulunamaz. (Reel sayılar kümesinde)
Sanal Sayının Kuvvetleri
\(i=\sqrt{-1}\) olmak üzere
n, k tam sayı ve \(k < 4n\) olmak üzere
\[i^{4n+k}=i^k \]
- \(i^1=i\)
- \(i^2=-1\)
- \(i^3=-i\)
- \(i^4=1\)
- \(i^5=i\)
- ...
Karmaşık Sayı
a, b reel sayı ve \(i=\sqrt{-1}\) olmak üzere
\(z=a+bi\)
şeklindeki sayılara karmaşık sayılar denir.
\(C=\{z| z=a+bi, a,b\in R, i=\sqrt{-1}\}\)
Denklemde;
- a: Gerçek kısım. \(Re(z)=a\)
- b: Sanal (imajiner) kısım. Im(z)=b
Karmaşık Sayının Eşleniği
\(a, b \in R\) ve \(i=\sqrt{-1}\) olmak üzere
\(z=a+bi\) şeklindeki karmaşık sayının sanal kısmının işareti değiştirilerek oluşturulan \(a-bi\) karmaşık sayısına z'nin eşleniği denir.
\(z=a+bi \rightarrow \bar{z}=a-bi\) olur.
\(z.\bar{z}=(a+bi)(a-bi)=a^2+b^2\)
\(a^3.b^3=(a.b)^3\)
Karmaşık sayılar kümesinde iki kökü olan ikinci dereceden bir denklemin katsayıları rasyonel sayılar kümesinde ise, kökleri daima birbirlerinin eşleniğidir.
Eğer iki karmaşık sayı eşlenik ise, toplamları ve çarpımları daima bir reel sayıdır.
\(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\)