Mathematics: 50. Integral-1: Integral Alma Kuralları-1

Mathematics

Diferansiyel

\(y=f(x)\) fonksiyonu türevlenebilen bir fonksiyon olmak üzere f(x) fonksiyonun diferansiyeli

\(d[f(x)]=f`(x).dx\) şeklinde ifade edilir.

Proof

\(y=f(x)\) fonksiyonunun türevi \(f`(x)=d[f(x)]/dx\) şeklinde yazılabilir.
İçler dışlar çarpımı yapıldığında \(d[f(x)]=f`(x).dx\) olur.
Burada \(dx\) neye göre türev alındığını ifade eder. Bunun haricinde işlemin sonucunu değiştiren bir şey değildir ve işleme alınmaz.
\(dx\)'in önemini anlamak için örnek vermek gerekirse, \(f(x)=3y+1\) fonksiyonunun x'e göre türevi alındığında cevap 0 çıkarken \(d(y)=3y+1\) fonksiyonun y'ye göre türevi alındığında cevap 3 çıkar.
- Todo: Bu örneğin doğruluğunu internetten araştırmalıyım ve neden diferansiyelde dx'in önemli olduğunu anlatmalıyım.

Examples

Ters Türev (Integral)

f(x) fonksiyonunun türevi \(f`(x)\) olsun.

\(f`(x)\) fonksiyonunun türevi alınmadan önceki hali olan f(x) fonksiyonuna ters türev denir.
Türevi verilen bir fonksiyonun kendisini bulma işlemine integral alma işlemi denir.

Türev tersine çevrildiğinde herhangi bir sabit sayının asıl fonksiyonda olup olmadığını veya hangi değerde olduğunu bilemeyiz. Bu sabit sayıyı bulmamıza yarayan ekstra bir bilgi verilmelidir.

Belirsiz Integralin Tanımı

\(\int\) sembolüne integral işareti denir.

c integral sabiti olmak üzere;

\[\int f`(x)dx=f(x)+c \]

f(x) fonksiyonunun sahip olduğu sabit sayının değerini bilmememize rağmen, böyle bir değer olabileceği için, bunu sembolize etmek amacıyla +c yazarız.
Belirsiz integralde c sabiti keyfidir (arbitrary) ve eşitlikteki f(x)+c ifadesi, türevi orijinal f(x) fonksiyonuna her yerde eşit olan tüm fonksiyonları ifade eder. Sabit sayıdaki değişiklik türev sonucunu değiştirmez.

Temel Integral Alma Kuralları

\(a\in R, c\in R\) olmak üzere

\(\int a.dx=ax+c\)
\(\int a.x^n.dx=a.\frac{x^{n+1}}{n+1}+c\) (n != -1)
- \(\int 2.x^2.dx=2.x^3.1/3+c\)

\(\sqrt[n]{x^m}\) köklü ifadesi \(x^{m/n}\) biçiminde üslü sayı olarak ifade edilebildiğinden, köklü sayılar üslü sayıya çevrilerek integrali alınabilir.

Belirsiz Integralin Özellikleri

\(\int k.f(x).dx = k.\int f(x).dx \quad (k\in R)\)
\(\int (f(x)\pm g(x)).dx=\int f(x).dx\pm \int g(x).dx\)

Belirsiz integrallerde fonksiyonun aslındaki sabit sayı bilinmez fakat bir tanedir ve c ile ifade edilir. Bir integrali ikiye ayırdığında ortaya çıkan c'ler de en sonunda her zaman bir tek c ile gösterilir. 2c gibi bir ifade kullanılmaz. Bu yüzden ortaya çıkan bu ara c'ler direkt olarak c şeklinde yazılmak yerine numaralandırılarak (\(c_1, c_2\) vb.) yazılır.

Bu yazıyı geliştirmem gerekebilir?

Güzel Bir Soru

Daha güzel bir soru